- Артикул:00806674
- Автор: Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А., Сахабиев В.А.
- ISBN: 5-217-03354-1
- Обложка: Твердый переплет
- Издательство: Машиностроение (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 432
- Формат: 60х88/16
- Год: 2006
- Вес: 673 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все книги серии)
Развернуть ▼
Изложен курс лекций по высшей математике. В пособие включены "Элементы теории множеств", "Элементы математической логики", "Линейная алгебра и аналитическая геометрия", "Введение в математический анализ", "Дифференциальное исчисление", "Интегральное исчисление для функций одной переменной", "Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы; элементы теории поля", "Ряды" в объеме, соответствующем программе курса высшей математики для ВУЗов.
Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и специальностям в области техники и технологии, и преподавателей.
Содержание
Основные обозначения
Введение
Глава 1. Элементы теории множеств
1.1. Множество и подмножество
1.2. Объединение и пересечение множеств
1.3. Разность множеств. Дополнение множества
1.4. Декартово произведение множеств
1.5. Мощность множества
Глава 2. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
2.1. Понятие о матрице
2.2. Определители второго и третьего порядков
2.3. Основные свойства определителей
2.4. Минор и алгебраическое дополнение
2.5. Понятие об определителе любого порядка
2.6. Разложение определителя по элементам строки или столбца
2.7. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера
2.8. Действия с матрицами
2.9. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений
2.10. Ранг матрицы и его вычисление с помощью элементарных преобразований
2.11. Теорема Кронекера-Капелли
2.12. Простейшие сведения о векторах
2.13. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Базис и координаты вектора
2.14. Проекция вектора на вектор. Разложение вектора в ортогональном базисе. Направляющие косинусы вектора
2.15. Скалярное произведение
2.16. Векторное произведение
2.17. Смешанное произведение
2.18. Понятие о линейном пространстве
2.19. Линейная независимость системы векторов
2.20. Базис и размерность линейного пространства
2.21. Аксиоматическое определение скалярного произведения
2.22. Евклидово пространство
2.23. Плоскость и гиперплоскость
2.24. Прямая линия
2.25. Линейные операторы
2.26. Матрица линейного оператора в заданном базисе
2.27. Нулевой, тождественный, проективный и гомотетичный операторы
2.28. Геометрический смысл матрицы линейного оператора
2.29. Действия с операторами
2.30. Сопряженный оператор. Сопряженная матрица
2.31. Самосопряженные операторы. Симметричные матрицы
2.32. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
2.33. Изменение матрицы линейного оператора при преобразовании базиса
2.34. Преобразование ортонормированного базиса в ортонормированный
2.35. Квадратичные формы
2.35.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
2.35.2. Приведение общего уравнения кривых второго порядка к каноническому виду
2.35.3. Приведение общего уравнения поверхностей второго порядка к каноническому виду
Глава 3. Введение в математический анализ
3.1. Основные виды отображений
3.1.1. Числовая функция одной переменной
3.1.2. Числовая функция нескольких переменных
3.1.3. Вектор-функция скалярного аргумента
3.1.4. Последовательность. Числовая последовательность
3.2. Понятие о метрическом и нормированном пространствах
3.3. Ограниченные, открытые, замкнутые множества. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Диаметр множества
3.4. Предел последовательности в метрическом пространстве
3.5. Предел отображения
3.5.1. Предел числовой функции одной переменной
3.5.2. Предел числовой функции нескольких переменных
3.6. Бесконечно малые, ограниченные, бесконечно большие и отделимые от нуля величины
3.7. Простейшие свойства бесконечно малых величин
3.8. Простейшие свойства пределов
3.9. Сравнение бесконечно малых
3.10. Свойства эквивалентных бесконечно малых. Главная часть бесконечно малой и бесконечно большой величин
3.11. Предельный переход в неравенстве. Признаки существования предела. Замечательные пределы
3.12. Таблица основных эквивалентных бесконечно малых
3.13. Непрерывность отображения
Глава 4. Дифференциальное исчисление
4.1. Дифференциал отображения евклидова пространства в евклидово пространство
4.2. Дифференциал и производная числовой функции одной переменной
4.3. Правила вычисления производной
4.4. Полный дифференциал и частные производные числовой функции нескольких переменных
4.5. Вычисление производных и дифференциалов сложных функций
4.6. Вычисление производных неявных функций
4.7. Производные и дифференциалы высших порядков для числовой функции одной переменной
4.8. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков
4.9. Свойства функций, дифференцируемых на интервале
4.10. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
4.11. Дифференциал длины дуги плоской кривой
4.12. Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
4.13. Формула Тейлора
4.14. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
4.15. Представление некоторых функций по формуле Тейлора
4.16. Приложения формулы Тейлора к исследованию функций
4.16.1. Главная часть БМ
4.16.2. Возрастание и убывание функции
4.16.3. Экстремумы функции
4.16.4. Выпуклость и вогнутость кривой
4.16.5. Точки перегиба кривой
4.17. Формула Тейлора для числовой функции нескольких переменных
4.18. Локальные экстремумы функции нескольких переменных
4.19. Аппроксимация опытных данных по методу наименьших квадратов
4.20. Производная скалярного поля по направлению. Градиент
4.21. Понятие о приближенных методах поиска локальных экстремумов
4.21.1. Релаксационный метод
4.21.2. Градиентный метод
4.21.3. Метод крутого восхождения (наискорейшего спуска)
4.21.4. Метод последовательного поворота симплекса
4.22. Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных
4.23. Глобальные экстремумы числовой функции нескольких переменных
4.24. Формулировка задачи линейного программирования
4.25. Понятие о задачах нелинейного и целочисленного программирования
4.26. Дифференциал и производная вектор-функции скалярного аргумента
4.27. Кривизна пространственной кривой
Глава 5. Интегральное исчисление для числовой функции одной переменной
5.1. Первообразная и неопределенный интеграл
5.2. Основные свойства неопределенного интеграла
5.3. Таблица основных интегралов
5.4. Интегрирование подстановкой
5.5. Интегрирование по частям
5.6. Понятие определенного интеграла как предела интегральной суммы
5.7. Формула Ньютона-Лейбница
5.8. Основные свойства определенного интеграла
5.9. Оценки определенного интеграла
5.10. Теорема о среднем значении
5.11. Вычисление определенных интегралов с помощью подстановки
5.12. Вычисление определенных интегралов путем интегрирования по частям
5.13. Схема применения определенных интегралов для решения прикладных задач
5.13.1. Вычисление площадей плоских областей
5.13.2. Вычисление длины дуги плоской кривой
5.13.3. Вычисление объема и площади поверхности тела вращения
5.13.4. Вычисление объема тела с заданными площадями параллельных сечений
5.14. Примеры физических приложений определенных интегралов
5.15. Приближенное вычисление определенных интегралов
5.15.1. Формула прямоугольников
5.15.2. Формула трапеций
5.15.3. Формула парабол
5.16. Несобственные интегралы
5.16.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
5.16.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
5.16.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
5.17. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом
5.18. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
5.19. Понятие о гамма-функции
Приложение. Комплексные числа
1. Основные понятия о комплексных числах
2. Запись комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах
3. Разложение многочлена на множители в случае действительных и мнимых корней
4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби
Глава 6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля
6.1. Понятие об интеграле по замкнутой ограниченной области
6.2. Свойства интегралов по замкнутой ограниченной области
6.3. Геометрическая интерпретация двойного интеграла
6.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
6.5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
6.6. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
6.7. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
6.7.1. Цилиндрические координаты
6.7.2. Сферические координаты
6.8. Общая формула замены переменных в кратных интегралах
6.9. Приложения кратных интегралов
6.10. Понятие о векторном поле
6.11. Криволинейные интегралы по длине дуги кривой
6.12. Криволинейные интегралы по координатам
6.13. Формула Грина
6.14. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования
6.15. Поверхностные интегралы по площади поверхности
6.16. Ориентируемые поверхности
6.17. Поверхностные интегралы по координатам
6.18. Составные поверхностные интегралы. Поток векторного поля
6.19. Формула Остроградского-Гаусса
6.20. Дивергенция векторного поля
6.21. Формула Стокса Ротор векторного поля
6.22. Потенциальные векторные поля
6.23. Соленоидальные векторные поля
6.24. Векторные операции второго порядка. Оператор Гамильтона
Глава 7. РЯДЫ
7.1. Понятие о ряде
7.2. Простейшие свойства рядов
7.3. Положительные числовые ряды. Признаки сходимости
7.4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
7.5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
7.6. Функциональные ряды. Понятие о равномерной сходимости ряда
7.6.1. Свойства равномерно сходящихся рядов
7.6.2. Достаточные признаки равномерной сходимости ряда
7.6.3. Степенные ряды. Теорема Абеля
7.6.4. Равномерная сходимость степенных рядов
7.7. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора
7.7.1. Примеры разложения функций в степенные ряды
7.7.2. Вычисление значений функций при помощи степенных рядов
7.7.3. Вычисление интегралов при помощи степенных рядов
7.7.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
7.7.5. Метод малого параметра
7.8. Ряды Фурье
7.8.1. Ряды Фурье по полной ортонормированной системе функций
7.8.2. Тригонометрические ряды для четных и нечетных функций
7.8.3. Понятие о рядах Фурье непериодических функций
7.8.4. Комплексная форма ряда Фурье
7.8.5. Средняя квадратическая погрешность. Минимальное свойство коэффициентов Фурье
7.8.6. Интеграл Фурье
7.8.7. Преобразование Фурье. Теорема Котельникова
Приложение. Элементы математической логики
Рекомендуем
