- Артикул:00-01091994
- Автор: Б.П. Демидович, И.А. Марон
- ISBN: 978-5-8114-0695-1
- Тираж: 1500 экз.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Лань (все книги издательства)
- Город: Санкт-Петербург-Москва-Краснодар
- Страниц: 672
- Формат: 84х108 1/32
- Год: 2011
- Вес: 914 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все книги серии)
- Лучшие классические учебники
Развернуть ▼
В учебном пособии излагаются важнейшие методы и приемы вычислительной математики на базе общего курса высшей математики для технических вузов. Основная часть книги посвящена курсу приближенных вычислений. Рассматриваются следующие вопросы: действия с приближенными числами, вычисление значений функций при помощи рядов и итеративных процессов, приближенное и численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, вычислительные методы линейной алгебры, интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование функций, метод Монте-Карло и др. В изложении материала широко используются основы матричного исчисления.
Учебное пособие предназначено для студентов технических вузов. Книга также может быть полезна специалистам, работающим в области прикладной математики.
Содержание
Предисловие к первому изданию
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к четвертому изданию
Введение. Общие правила вычислительной работы
Глава I. Приближенные числа
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности
§ 2. Основные источники погрешностей
§ 3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков
§ 4. Округление чисел
§ 5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа
§ 6. Таблицы для определения предельной относительной погрешности по числу верных знаков и наоборот
§ 7. Погрешность суммы
§ 8. Погрешность разности
§ 9. Погрешность произведения
§ 10. Число верных знаков произведения
§ 11. Погрешность частного
§ 12. Число верных знаков частного
§ 13. Относительная погрешность степени
§ 14. Относительная погрешность корня
§ 15. Вычисления без точного учета погрешностей
§ 16. Общая формула для погрешности
§ 17. Обратная задача теории погрешностей
§ 18. Точность определения аргумента для функции, заданной таблицей
§ 19. Способ границ
§ 20*. Понятие о вероятностной оценке погрешности
Литература к первой главе
Глава II. Некоторые сведения из теории цепных дробей
§ 1. Определение цепной дроби
§ 2. Обращение цепной дроби в обыкновенную и обратно
§ 3. Подходящие дроби
§ 4. Бесконечные цепные дроби
§ 5. Разложение функций в цепные дроби
Литература ко второй главе
Глава III. Вычисление значений функций
§ 1. Вычисление значений полинома. Схема Горнера
§ 2. Обобщенная схема Горнера
§ 3. Вычисление значений рациональных дробей
§ 4. Приближенное нахождение сумм числовых рядов
§ 5. Вычисление значений аналитической функции
§ 6. Вычисление значений показательной функции
§ 7. Вычисление значений логарифмической функции
§ 8. Вычисление значений тригонометрических функций
§ 9. Вычисление значений гиперболических функций
§ 10. Применение метода итерации для приближенного вычисления значений функции
§ 11. Вычисление обратной величины
§ 12. Вычисление квадратного корня
§ 13. Вычисление обратной величины квадратного корня
§ 14. Вычисление кубического корня
Литература к третьей главе
Глава IV. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений
§ 1. Отделение корней
§ 2. Графическое решение уравнений
§ 3. Метод половинного деления
§ 4. Способ пропорциональных частей (метод хорд)
§ 5. Метод Ньютона (метод касательных)
§ 6. Видоизмененный метод Ньютона
§ 7. Комбинированный метод
§ 8. Метод итерации
§ 9. Метод итерации для системы двух уравнений
§ 10. Метод Ньютона для системы двух уравнений
§ 11. Метод Ньютона для случая комплексных корней
Литература к четвертой главе
Глава V. Специальные приемы для приближенного решения алгебраических уравнений
§ 1. Общие свойства алгебраических уравнений
§ 2. Границы действительных корней алгебраических уравнений
§ 3. Метод знакопеременных сумм
§ 4. Метод Ньютона
§ 5. Число действительных корней полинома
§ 6. Теорема Бюдана - Фурье
§ 7. Идея метода Лобачевского - Греффе
§ 8. Процесс квадрирования корней
§ 9. Метод Лобачевского-Греффе для случая действительных различных корней
§ 10. Метод Лобачевского-Греффе для случая комплексных корней
§ 11. Случай пары комплексных корней
§ 12. Случай двух пар комплексных корней
§ 13. Метод Бернулли
Литература к пятой главе
Глава VI. Улучшение сходимости рядов
§ 1. Улучшение сходимости числовых рядов
§ 2. Улучшение сходимости степенных рядов методом Эйлера - Абеля
§ 3. Оценки коэффициентов Фурье
§ 4. Улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье методом А. Н. Крылова
§ 5. Приближенное суммирование тригонометрических рядов
Литература к шестой главе
Глава VII. Алгебра матриц
§ 1. Основные определения
§ 2. Действия с матрицами
§ 3. Транспонированная матрица
§ 4. Обратная матрица
§ 5. Степени матрицы
§ 6. Рациональные функции матрицы
§ 7. Абсолютная величина и норма матрицы
§ 8. Ранг матрицы
§ 9. Предел матрицы
§ 10. Матричные ряды
§ 11. Клеточные матрицы
§ 12. Обращение матриц при помощи разбиения на клетки
§ 13. Треугольные матрицы
§ 14. Элементарные преобразования матриц
§ 15. Вычисление определителей
Литература к седьмой главе
Глава VIII. Решение систем линейных уравнений
§ 1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений
§ 2. Решение систем с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера
§ 3. Метод Гаусса
§ 4. Уточнение корней
§ 5. Метод главных элементов
§ 6. Применение метода Гаусса для вычисления определителей
§ 7. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
§ 8. Метод квадратных корней
§ 9. Схема Халецкого
§ 10. Метод итерации
§ 11. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации
§ 12 Метод Зейделя
§ 13. Случай нормальной системы
§ 14. Метод релаксации
§ 15. Исправление элементов приближенной обратной матрицы
Литература к восьмой главе
Глава IX*. Сходимость итерационных процессов для систем линейных уравнений
§ 1. Достаточные условия сходимости процесса итерации
§ 2. Оценка погрешности приближений процесса итерации
§ 3. Первое достаточное условие сходимости процесса Зейделя
§ 4. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по m-норме
§ 5. Второе достаточное условие сходимости процесса Зейделя
§ 6. Опенка погрешности приближений процесса Зейделя по l-норме
§ 7. Третье достаточное условие сходимости процесса Зейделя
Литература к девятой главе
Глава X. Основные сведения из теории линейных векторных пространств
§ 1. Понятие линейного векторного пространства
§ 2. Линейная зависимость векторов
§ 3. Скалярное произведение векторов
§ 4. Ортогональные системы векторов
§ 5. Преобразования координат вектора при изменениях базиса
§ 6. Ортогональные матрицы
§ 7. Ортогонализация матриц
§ 8. Применение методов ортогонализации к решению систем линейных уравнений
§ 9. Пространство решений однородной системы
§ 10. Линейные преобразования переменных
§.11. Обратное преобразование
§ 12. Собственные векторы и собственные значения матрицы
§ 13. Подобные матрицы
§ 14. Билинейная форма матрицы
§ 15. Свойства симметрических матриц
§ 16*. Свойства матриц с действительными элементами
Литература к десятой главе
Глава XI*. Дополнительные сведения о сходимости итерационных процессов для систем линейных уравнений
§ 1. Сходимость матричных степенных рядов
§ 2. Тождество Гамильтона-Кели
§ 3. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса итерации для-системы линейных уравнений
§ 4. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса Зейделя для системы линейных уравнений
§ 5. Сходимость процесса Зейделя для нормальной системы
§ 6. Способы эффективной проверки условий сходимости
Литература к одиннадцатой главе
Глава XII. Нахождение собственных значений и собственных век-торос матрицы
§ 1. Вводные замечания
§ 2. Развертывание вековых определителей
§ 3. Метод А. М. Данилевского
§ 4. Исключительные случаи в методе А. М. Данилевского
§ 5. Вычисление собственных векторов по методу А. М. Данилевского
§ 6. Метод А. Н. Крылова
§ 7. Вычисление собственных векторов по методу А. Н. Крылова
§ 8. Метод Леверрье
§ 9. Понятие о методе неопределенных коэффициентов
§ 10. Сравнение различных методов развертывания векового определителя
§ 11. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы и соответствующего собственного вектора
§ 12. Метод скалярных произведений для нахождения первого собственного значения действительной матрицы
§ 13. Нахождение второго собственного значения матрицы и второго собственного вектора
§ 14. Метод исчерпывания
§ 15. Нахождение собственных элементов положительно определенной симметрической матрицы
§ 16. Использование коэффициентов характеристического полинома матрицы для ее обращения
§ 17. Метод Л. А. Люстерника улучшения сходимости процесса итерации для решения системы линейных уравнений
Литература к двенадцатой главе
Глаза XIII. Приближенное решение систем нелинейных уравнений
§ 1. Метод Ньютона
§ 2. Общие замечания о сходимости процесса Ньютона
§ 3*. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона
§ 4*. Быстрота сходимости процесса Ньютона
§ 5*. Единственность решения
§ 6*. Устойчивость сходимости процесса Ньютона при варьировании начального приближения
§ 7. Модифицированный метод Ньютона
§ 8. Метод итерации
§ 9*. Понятие о сжимающем отображении
§ 10*. Первое достаточное условие сходимости процесса итерации
§ 11*. Второе достаточное условие сходимости процесса итерации
§ 12. Метод скорейшего спуска (метод градиента)
§ 13. Метод скорейшего спуска для случая системы линейных уравнений
§ 14*. Метод степенных рядов
Литература к тринадцатой главе
Глава XIV. Интерполирование функций
§ 1. Конечные разности различных порядков
§ 2. Таблица разностей
§ 3. Обобщенная степень
§ 4. Постановка задачи интерполирования
§ 5. Первая интерполяционная формула Ньютона
§ 6. Вторая интерполяционная формула Ньютона
§ 7. Таблица центральных разностей
§ 8. Интерполяционные формулы Гаусса
§ 9. Интерполяционная формула Стирлинга
§ 10. Интерполяционная формула Бесселя
§ 11. Общая характеристика интерполяционных формул с постоянным шагом
§ 12. Интерполяционная формула Лагранжа
§ 13*. Вычисление лагранжевых коэффициентов
§ 14. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа
§ 15. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона
§ 16. Оценки погрешностей центральных интерполяционных формул
§ 17. О наилучшем выборе узлов интерполирования
§ 18. Разделенные разности
§ 19. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента
§ 20. Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов
§ 21. Обратное интерполирование для случая неравноотстоящих узлов
§ 22. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования
§ 23. Метод интерполяции для развертывания векового определителя
§ 24*. Интерполирование функций двух переменных
§ 25*. Двойные разности высших порядков
§ 26*. Интерполяционная формула Ньютона для функции двух переменных
Литература к четырнадцатой главе
Глава XV. Приближенное дифференцирование
§ 1. Постановка вопроса
§ 2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона
§ 3. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на формуле Стирлинга
§ 4. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих точек, выраженные через значения функции в этих точках
§ 5. Графическое дифференцирование
§ 6*. Понятие о приближенном вычислении частных производных
Литература к пятнадцатой главе
Глава XVI. Приближенное интегрирование функций
§ 1. Общие замечания
§ 2. Квадратурные формулы Ньютона - Котеса
§ 3. Формула трапеций и ее остаточный член
§ 4. Формула Симпсона и ее остаточный член
§ 5. Формулы Ньютона - Котеса высших порядков
§ 6. Общая формула трапеций (правило трапеций)
§ 7. Общая формула Симпсона (параболическая формула)
§ 8. Понятие о квадратурной формуле Чебышева
§ 9. Квадратурная формула Гаусса
§ 10. Некоторые замечания о точности квадратурных формул
§ 11*. Экстраполяция по Ричардсону
§ 12*. Числа Бернулли
§ 13*. Формула Эйлера-Маклорена
§ 14. Приближенное вычисление несобственных интегралов
§ 15. Метод Л. В. Канторовича выделения особенностей
§ 16. Графическое интегрирование
§ 17*. Понятие о кубатурных формулах
§ 18*. Кубатурная формула типа Симпсона
Литература к шестнадцатой главе
Глава XVII. Метод Монте-Карло
§ 1. Идея метода Монте-Карло
§ 2. Случайные числа
§ 3. Способы получения случайных чисел
§ 4. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло
§ 5*. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Монте-Карло
Литература к семнадцатой главе
Предметный указатель
Рекомендуем
