- Артикул:00-01100979
- Автор: Хартман Ф.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: МИР (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 720
- Формат: 60х90 1/16
- Год: 1970
- Вес: 1031 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все книги серии)
Развернуть ▼
Книга Ф. Хартмана - одного из крупнейших специалистов по теории дифференциальных уравнений - возникла на основе различных курсов, которые автор неоднократно читал студентам и аспирантам разных специальностей. Только первые ее главы включают традиционный материал, в том или ином виде входящий во все учебники. Далее следует изложение качественной теории дифференциальных уравнений, в котором особый интерес представляет круг вопросов, связанных с теоремой о поведении диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки. И, наконец, остальная часть книги посвящена более специальным вопросам (асимптотическое интегрирование систем, близких к линейным, уравнения второго порядка, дихотомия и т. д.).
Упражнения (содержащие задачи различной трудности, частично с решениями) играют в этой книге особую роль. Они не только позволяют читателю проверить, как он усвоил материал, но и указывают ему возможные направления дальнейшего развития теории.
Широта охвата материала, систематичность и четкость изложения делают книгу хорошим учебным пособием для студентов высших учебных заведений, однако и специалисты найдут в ней много ценного и интересного.
Содержание
Предисловие редактора перевода
Из предисловия автора
Глава I. Предварительные сведения
§ 1. Вводные замечания
§ 2. Основные теоремы
§ 3. Гладкие аппроксимации
§ 4. Замена переменных в интегралах
Примечания
Глава II. Теоремы существования
§ 1. Теорема Пикара - Линделёфа
§ 2. Теорема Пеано
§ 3. Теорема о продолжении решения
§ 4. Теорема Кнезера
§ 5. Пример неединственности
Примечания
Глава III. Дифференциальные неравенства и единственность
§ 1. Неравенство Гронуолла
§ 2. Максимальные и минимальные решения
§ 3. Правые производные
§ 4. Дифференциальные неравенства
§ 5. Теорема Уинтнера
§ 6. Теоремы единственности
§ 7. Теорема единственности ван Кампена
§ 8. Точки выхода и функции Ляпунова
§ 9. Последовательные приближения
Примечания
Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения
§ 1. Линейные системы
§ 2. Вариация постоянных
§ 3. Редукция к системам меньшего порядка
§ 4. Основные неравенства
§ 5. Системы с постоянными коэффициентами
§ 6. Теория Флоке
§ 7. Сопряженные системы
§ 8. Линейные уравнения высших порядков
§ 9. Замечания о замене переменных
Добавление. Линейные аналитические уравнения
§ 10. Фундаментальные матрицы
§ 11. Простые особенности
§ 12. Уравнения высших порядков
§ 13. Кратные особенности
Примечания
Глава V. Зависимость от начальных условий и параметров
§ 1. Предварительные замечания
§ 2. Непрерывность
§ 3. Дифференцируемость
§ 4. Существование производных высших порядков
§ 5. Внешние производные
§ 6. Дальнейшие теоремы о дифференцируемости
§ 7. S- и L-липшицевы формы
§ 8. Теорема единственности
§ 9. Лемма
§ 10. Доказательство теоремы 8.1
§ 11. Доказательство теоремы 6.1
§ 12. Первые интегралы
Примечания
Глава VI. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнения с частными производными
Часть I. Теорема Фробениуса
§ 1. Уравнения в полных дифференциалах
§ 2. Алгебра внешних форм
§ 3. Теорема Фробениуса
§ 4. Доказательство теоремы 3.1
§ 5. Доказательство леммы 3.1
§ 6. Система (1.1)
Часть II. Метод характеристик (метод коши)
§ 7. Нелинейные уравнения в частных производных
§ 8. Характеристики
§ 9. Теорема существования и единственности
§ 10. Лемма Хаара и единственность
Примечания
Глава VII. Теория Пуанкаре-Бендиксона
§ 1. Автономные системы
§ 2. Теорема об индексе
§ 3. Индекс стационарной точки
§ 4. Теорема Пуанкаре-Бендиксона
§ 5. Устойчивость периодических решений
§ 6. Точки вращения
§ 7. Фокусы, узлы и седловые точки
§ 8. Секторы
§ 9. Стационарная точка общего вида
§ 10. Уравнения второго порядка
Приложение. Теория Пуанкаре-Бендиксона на двумерных многообразиях
§ 11. Предварительные сведения
§ 12. Аналог теоремы Пуанкаре-Бендиксона
§ 13. Каскады на замкнутой кривой
§ 14. Потоки на торе
Примечания
Глава VIII. Стационарные точки на плоскости
§ 1. Теорема существования
§ 2. Характеристические направления
§ 3. Системы, близкие к линейным
§ 4. Более общие стационарные точки
Примечания
Глава IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
§ 1. Инвариантные многообразия
§ 2. Отображения
§ 3. Модификация функции F (|)
§ 4. Приведение системы к нормальному виду
§ 5. Инвариантные многообразия отображения
§ 6. Существование инвариантных многообразий
§ 7. Линеаризации
§ 8. Линеаризация отображения
§ 9. Доказательство теоремы 7.1
§ 10. Периодические решения
§ 11. Предельные циклы
Приложение. Гладко эквивалентные отображения
§ 12. Гладкие линеаризации
§ 13. Доказательство леммы 12.1
§ 14. Доказательство теоремы 12.2
Примечания
Глава X. Возмущенные линейные системы
§ 1. Случай Е = 0
§ 2. Топологический принцип
§ 3. Теорема Важевского
§ 4. Подготовительные леммы
§ 5. Доказательство леммы 4.1
§ 6. Доказательство леммы 4.2
§ 7. Доказательство леммы 4.3
§ 8. Асимптотическое интегрирование. Логарифмическая шкала
§ 9. Доказательство теоремы 8.2
§ 10. Доказательство теоремы 8.3
§ 11. Логарифмическая шкала (продолжение)
§ 12. Доказательство теоремы 11.2
§ 13. Асимптотическое интегрирование
§ 14. Доказательство теоремы 13.1
§ 15. Доказательство теоремы 13.2
§ 16. Следствия и уточнения
§ 17. Линейные уравнения высших порядков
Примечания
Глава XI. Линейные уравнения второго порядка
§ 1. Предварительные сведения
§ 2. Основные факты
§ 3. Теоремы Штурма
§ 4. Краевые задачи Штурма-Лиувилля
§ 5. Число нулей
§ 6. Неосциллирующие уравнения и главные решения
§ 7. Теоремы о неосциллирующих уравнениях
§ 8. Асимптотическое интегрирование. Эллиптические случаи
§ 9. Асимптотическое интегрирование. Неэллиптические случаи
Приложение. Системы без сопряженных точек
§ 10. Системы без сопряженных точек
§ 11. Обобщения
Примечания
Глава XII. Некоторые применения теорем неявных функциях и неподвижных точках
Часть I. Периодические решения
§ 1. Линейные уравнения
§ 2. Нелинейные задачи
Часть II. Граничные задачи для уравнений второго порядка
§ 3. Линейные задачи
§ 4. Нелинейные задачи
§ 5. Априорные оценки
Часть III. Общая теория
§ 6. Основные факты
§ 7. Функции Грина
§ 8. Нелинейные уравнения
§ 9. Асимптотическое интегрирование
Примечания
Глава XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
Часть I. Общая теория
§ 1. Обозначения и определения
§ 2. Предварительные леммы
§ 3. Оператор Т
§ 4. Оценки для II Py(f) II
§ 5. Оценки для II у (т) II
§ 6. Приложения к системам первого порядка
§ 7. Приложения к системам высшего порядка
§ 8. Р (В, Ц)-многообразия
Часть II. Сопряженные уравнения
§ 9. Ассоциированные пространства
§ 10. Оператор Т'
§ 11. Индивидуальные дихотомии
§ 12. Р'-допустимые пространства для Т’
§ 13. Приложения к дифференциальным уравнениям
§ 14. Существование РО-решений
Примечания
Глава XIV. Монотонность
Часть I. Монотонные решения
§ 1. Большие и малые решения
§ 2. Монотонные решения
§ 3. Линейные уравнения второго порядка
§ 4. Линейные уравнения второго порядка (продолжение)
Часть II. Одна задача из теории пограничного слоя
§ 5. Постановка задачи
§ 6. Случай X > 0
§ 7. Случай X < О
§ 8. Случай X = О
§ 9. Асимптотическое поведение
Часть III. Асимптотическая устойчивость в целом
§ 10. Асимптотическая устойчивость в целом
§ 11. Функции Ляпунова
§ 12. Переменная матрица G
§ 13. О следствии 11.2
§ 14. "J (у) х-х <1 0, если х-f (у) - 0"
§ 15. Доказательство теоремы 14.2
§ 16. Доказательство теоремы 14.1
Примечания
Указания к упражнениям
Литература
Предметный указатель
Рекомендуем
