Развернуть ▼
Рассмотрены основные утверждения многомерного статистического анализа, которые применены в теории оценивания параметров и состояний линейных систем, теории планирования экспериментов, в распознавании образов. Впервые в отечественной и зарубежной литературе изложены основные результаты разработанного автором G-анализа, которые дают возможность значительно уменьшить число наблюдений над случайными векторами при решении практических задач.
Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Математика» и «Прикладная математика».
СодержаниеПредисловие
Основные обозначения
Введение
Глава 1. Эмпирические математическое ожидание и ковариационная матрица
§ 1.1. Эмпирические математическое ожидание и ковариационная матрица, полученные по выборке наблюдении над нормальным случайным вектором
§ 1.2. Мера Хаара
§ 1.3. Плотность распределения эмпирической ковариационной матрицы
§ 1.4. Обобщенная Т2-стзтистика
§ 1.5. Обобщенная дисперсия
§ 1.6 Распределение собственных чисел и собственных векторов эмпирической ковариационной матрицы
Глава 2. Теория оценивания решений линейных систем уравнений
§ 2.1. Теорема об экстремуме неотрицательной ограниченной функции
§ 2.2. Основное спектральное уравнение
§ 2.3. Метод наименьших квадратов
§ 2.4. Уравнение Риккати для матрицы-регуляризатора в методе наименьших квадратов
§ 2.5. Спектральные уравнения для минимаксных оценок решений линейных систем
§ 2.6. Спектральное уравнение для минимаксных оценок линейных форм от решений линейных уравнений с нелинейными помехами
§ 2.7. Спектральные уравнения для минимаксных оценок решений стохастических уравнений
§ 2.8. Спектральные уравнения для минимаксных оценок квадратичных функционалов
§ 2.9. Оценивание состояний систем, описываемых рекуррентными уравнениями
§ 2.10. Оценивание состояний динамических систем
§ 2.11. Спектральные уравнения для оценок решений систем уравнений с «внутренними» неопределенными коэффициентами в системе наблюдений
§ 2.12. Спектральные уравнения в теории минимаксного оценивания
Глава 3. Асимптотический многомерный статистический анализ
§ 3.1. Предельные теоремы для борелевских функций от независимых случайных величин
§ 3.2. Неравенства и закон больших чисел для сумм мартингал-разностей
§ 3.3. Центральная предельная теорема для сумм мартингал-разностей
§ 3.4. Сопровождающие безгранично делимые законы для сумм мартингал-разностей
§ 3.5. Предельные теоремы для U-статистик
§ 3.6. Оценивание параметров устойчивых дискретных систем управления
§ 3.7. Оценивание параметров нелинейных систем управления
§ 3.8. Предельные теоремы общего вида для оценок параметров дискретных систем управления
§ 3.9. Предельные теоремы для оценок параметров дискретных систем управления с мультипликативными шумами
§ 3.10. Предельные теоремы для оценок параметров динамических систем управления
§ 3.11. Асимптотические свойства адаптивных линейных регуляторов для манипуляционных роботов
Глава 4. Предельные теоремы для экстремумов эмпирических функций
§ 4.1. Метод интегральных представлений. Предельные теоремы типа закона больших чисел
§ 4.2. Центральная предельная теорема для оценок параметров, полученных с помощью метода интегральных представлений
§ 4.3. Спектральный метод оценивания экстремумов функций
§ 4.4. Метод максимального правдоподобия
§ 4.5. Состоятельность оценок, полученных по методу максимального правдоподобия
§ 4.6. Асимптотическая нормальность оценок, полученных по методу максимального правдоподобия
§ 4.7. Метод стохастических аппроксимаций
§ 4.8. Оценивание спектра ковариационных матриц и линейных систем управления
Глава 5. Основные уравнения G-анализа
§ 5.1. G-Уравнения для оценок трижды дифференцируемых функций от неизвестных параметров
§ 5.2. G-Уравнения высших порядков
§ 5.3. Метод квазиобращения для решения G-Уравнения
§ 5.4. Метод преобразований Фурье
§ 5.5. G-Уравнение для оценок функций от неизвестных параметров
§ 5.6. Формулы возмущений матриц
§ 5.7. G-Уравнение для оценок функций от неизвестных параметров и ковариационных матриц
§ 5.8. G-Уравнение для резольвент эмпирических ковариационных матриц при выполнении условия Линдеберга
§ 5.9. Предельные теоремы общего вида для преобразований Стилтьеса спектральных функций случайных матриц
§ 5.10. Предельные теоремы для преобразований Стилтьеса спектральных функции случайных матриц при выполнении условия Линдеберга
§ 5.11. Один пример явного вычисления предельных спектральных функций эмпирических ковариационных матриц
§ 5.12. G-Уравнение для преобразований Стилтьеса предельных спектральных функции изотропных случайных матриц
§ 5.13. G-Уравнение для преобразований Стилтьеса нормированных спектральных функций пучка эмпирических ковариационных матриц
§ 5.14. G-Уравнение для решений систем линейных алгебраических уравнений
Глава 6. Основные оценки G-анализа
§ 6.1. G1-Оценка обобщенной дисперсии
§ 6.2. G2-Оценка преобразования Стилтьеса нормированной спектральной функции ковариационной матрицы
§ 6.3. Асимптотическая нормальность оценки G2
§ 6.4. G3-Оценка обратной ковариационной матрицы
§ 6.5. G4-Оценки следов степеней ковариационных матриц
§ 6.6. G5-Оценки сглаженных нормированных спектральных функций эмпирических ковариационных матриц
§ 6.7. G6-Оценка преобразования Стилтьеса спектральной функции пучка ковариационных матриц
§ 6.8. G7-Оценка параметров устойчивых дискретных систем управления
§ 6.9. G8-Оценка решения системы линейных алгебраических уравнений
Глава 7. Эмпирические фильтры
§ 7.1. Наилучшие оценки в смысле минимума средней квадратической погрешности
§ 7.2. Фильтр Колмогорова-Винера
§ 7.3. Фильтр Калмана-Бьюси
§ 7.4. Минимаксный фильтр Колмогорова-Винера
§ 7.5. Спектральные уравнения в теории фильтрации шумов
§ 7.6. G9-Оценка решения фильтра Колмогорова-Винера
§ 7.7. G10-Оценка решения регуляризованного фильтра Колмогорова-Винера
Глава 8. Применение G-анализа в классификации наблюдений
§ 8.1. Метод Байеса классификации двух генеральных совокупностей
§ 8.2. Классификация наблюдений в случае двух генеральных совокупностей, имеющих известные многомерные нормальные распределения с одинаковыми ковариационными матрицами
§ 8.3. Классификация наблюдений, распределенных по нормальному закону с различными ковариационными матрицами
§ 8.4. G11-Оценка расстояния Махаланобиса
§ 8.5. Асимптотическая нормальность оценки G11
§ 8.6. Оценка G12 регуляризованного расстояния Махаланобиса
§ 8.7. G13- и G14-Оценки статистики Андерсона-Фишера
§ 8.8. G15-Оцеика нелинейной дискриминантной функции, полученной по наблюдениям над случайными векторами с различными ковариационными матрицами
Глава 9. Применение G-анализа в оптимальном стохастическом планировании экспериментов
§ 9.1. Условия существования моментов случайных ковариационных матриц оценок параметров систем со случайными шумами
§ 9.2. Спектральный метод нахождения моментов случайных ковариационных матриц
§ 9.3. Применение в теории планирования экспериментов случайных матриц Адамара
§ 9.4. Вероятностный метод исследования гипотезы Фреше
§ 9.5. Асимптотическое планирование экспериментов
§ 9.6. Оценка G16-ошибки оценивания в методе наименьших квадратов
Глава 10. G-Оценки функций от неизвестных параметров
§ 10.1. Состоятельность оценки G17 преобразования Фурье функции от неизвестных параметров
§ 10.2. Состоятельность оценок Gl8 и G19 регуляризованных функций от неизвестных параметров
§ 10.3. Центральная предельная теорема для оценок G18, G19
§ 10.4. С21-Оценка параметров в методе максимального правдоподобия
§ 10.5. G22-Оценка в задачах классификации
§ 10.6. G23-Оценка экстремумов функций в методе стохастической аппроксимации
§ 10.7. G24-Оценка минимизирующая среднеквадратический риск
§ 10.8. G25-Оценка главных компонент
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель
