- Артикул:00-01030924
- Автор: Тыртышников Е.Е.
- ISBN: 978-5-9221-0778-5
- Обложка: Твердый переплет
- Издательство: Физматлит (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 480
- Год: 2007
- Вес: 675 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все книги серии)
Развернуть ▼
В книге излагаются основы матричного анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии, при этом раскрываются глубокие связи предмета с другими разделами математики и дается представление о современных тенденциях его развития и приложениях к задачам численного анализа.
Для студентов и преподавателей факультетов прикладной математики, математики и механики, физических и инженерных специальностей, а также лиц, профессионально применяющих методы матричного анализа и линейной алгебры.
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика», «Прикладная математика и информатика».
Оглавление
Предисловие
Лекция 1
1.1. Линейные отображения и матрицы
1.2. Умножение матриц
1.3. Ассоциативность умножения матриц
1.4. Некоммутативность умножения матриц
1.5. Сложение матриц и умножение на число
1.6. Умножение блочных матриц
1.7. Вычислительный аспект умножения матриц
1.8. Хороша ли программа?
1.9.Метод Винограда
1.10.Метод Штрассена
1.11. Рекурсия для (n х n)-матриц
Лекция 2
2.1. Множества и элементы
2.2. Отображения, функции, операторы
2.3. Алгебраические операции
2.4. Ассоциативность и скобки
2.5. Ассоциативность при умножении матриц
2.6. Группы
2.7. Примеры абелевых групп
2.8. Группа невырожденных диагональных матриц
2.9. Группа невырожденных треугольных матриц
2.10. Подгруппы
2.11. Степени элемента
2.12. Циклические группы
Лекция 3
3.1. Система линейных алгебраических уравнений
3.2. Линейные комбинации
3.3. Линейная зависимость
3.4. Линейная независимость
3.5. Транзитивность линейной зависимости
3.6.Монотонность числа линейно независимых векторов
3.7. Базис и размерность
3.8. Дополнение до базиса
3.9. Существование базиса
3.10. Совместность системы линейных алгебраических уравнений
Лекция 4
4.1. Индикатор линейной зависимости
4.2. Подстановки и перестановки
4.3. Циклы и транспозиции
4.4. Четность подстановки
4.5. Единственность индикатора линейной зависимости
4.6. Определитель
Лекция 5
5.1. Определитель транспонированной матрицы
5.2. Определитель как функция столбцов (строк) матрицы
5.3. Существование индикатора линейной зависимости
5.4. Подматрицы и миноры
5.5. Замечание о подстановках
5.6. Разбиение множества подстановок на подмножества
5.7. Теорема Лапласа
5.8. Определитель блочно-треугольной матрицы
Лекция 6
6.1. Обратная матрица
6.2. Критерий обратимости матрицы
6.3. Обращение и транспонирование
6.4. Группа обратимых матриц
6.5. Обращение невырожденной матрицы
6.6. Правило Крамера
6.7. Определитель произведения матриц
6.8. Обратимость и невырожденность
Лекция 7
7.1. Разделение переменных и матрицы
7.2. Скелетное разложение
7.3. Ранг матрицы
7.4. Окаймление обратимой подматрицы
7.5. Теорема о базисном миноре
7.6. Ранги и матричные операции
7.7. Однородная система линейных алгебраических уравнений
7.8. Теорема Кронекера–Капелли
7.9. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений
7.10. Неустойчивость ранга
Лекция 8
8.1. Исключение неизвестных
8.2. Элементарные матрицы
8.3. Ступенчатые матрицы
8.4. Приведение к ступенчатой форме
8.5. Приведение к диагональной форме
8.6. Эквивалентные матрицы
8.7.Метод Гаусса и LU-разложение
8.8. LU-разложение и строго регулярные матрицы
Лекция 9
9.1.Метод координат
9.2. Направленные отрезки
9.3. Отношение эквивалентности
9.4. Свободный вектор
9.5. Линейные операции над векторами
9.6. Координаты вектора
9.7. Изоморфизми линейная зависимость
9.8. Коллинеарные и компланарные векторы
9.9. Прямая на плоскости
9.10. Плоскость в пространстве
9.11. Преобразование координат
9.12. Полуплоскости и полупространства
Лекция 10
10.1. Скалярное произведение геометрических векторов
10.2. Скалярное произведение и координаты
10.3. Об обобщениях
10.4. Ориентация системы векторов
10.5. Векторное и смешанное произведения
10.6. Векторное произведение в декартовых координатах
10.7. Смешанное произведение в декартовых координатах
10.8. Нормали к прямой и плоскости
10.9. Расстояние от точки до прямой на плоскости
10.10. Расстояние от точки до плоскости
10.11. Критерии параллельности вектора прямой и плоскости
Лекция 11
11.1. Линейные пространства
11.2. Примеры бесконечномерных линейных пространств
11.3. Примеры конечномерных линейных пространств
11.4. Базис и размерность
11.5. Подпространства линейного пространства
11.6. Сумма и пересечение подпространств
Лекция 12
12.1. Разложение по базису
12.2. Изоморфизм линейных пространств
12.3. Пространство многочленов
12.4. Прямая сумма подпространств
12.5. Дополнительные пространства и проекции
12.6. Вычисление подпространства
Лекция 13
13.1. Линейные многообразия
13.2. Аффинные множества
13.3. Гиперплоскости
13.4. Полупространства
13.5. Выпуклые множества
Лекция 14
14.1. Комплексные числа
14.2. Комплексная плоскость
14.3. Преобразования плоскости
14.4. Корни из единицы
14.5. Группа корней степени n из единицы
14.6.Матрицы с комплексными элементами
Лекция 15
15.1. Кольца и поля
15.2. Делители нуля
15.3. Кольцо вычетов
15.4. Вложения и изоморфизмы
15.5. Число элементов в конечном поле
15.6. Поле частных
Лекция 16
16.1. Линейные пространства над полем
16.2. Многочлены над полем
16.3. Кольцо многочленов
16.4. Деление с остатком
16.5. Наибольший общий делитель
16.6. Значения многочлена и корни
16.7. Присоединение корня
Лекция 17
17.1. Комплексные многочлены
17.2. Последовательности комплексных чисел
17.3. Непрерывные функции на комплексной плоскости
17.4. Свойства модуля многочлена
17.5. Основная теорема алгебры
17.6. Разложение комплексных многочленов
17.7. Разложение вещественных многочленов
Лекция 18
18.1.Формулы Виета
18.2. Многочлены от n переменных
18.3. Лексикографическое упорядочение
18.4. Симметрические многочлены
18.5. Ньютоновы суммы
Лекция 19
19.1. Алгебраические многообразия
19.2. Квадратичные многочлены от двух переменных
19.3. Поворот декартовой системы координат
19.4. Сдвиг декартовой системы координат
19.5. Эллипс
19.6. Гипербола
19.7. Парабола
Лекция 20
20.1. Квадратичные многочлены от трех переменных
20.2. Декартовы системы и ортогональные матрицы
20.3.Метод вращений
20.4. Вложенные подпоследовательности
20.5. Диагонализация в пределе
20.6. Диагонализация вещественных симметричных матриц
Лекция 21
21.1. Приведенные уравнения поверхности второго порядка
21.2. Эллипсоид
21.3. Однополостный гиперболоид
21.4. Линейчатая поверхность
21.5. Двуполостный гиперболоид
21.6. Эллиптический конус
21.7. Эллиптический параболоид
21.8. Гиперболический параболоид
21.9. Цилиндрические поверхности
Лекция 22
22.1. Нормированное пространство
22.2. Выпуклые функции и неравенства
22.3. Неравенства Гельдера и Минковского
22.4. Нормы Гельдера
22.5. Зачем нужны нормы?
22.6. Нормы в бесконечномерном пространстве
22.7.Метрическое пространство
22.8. Пределы и полнота
Лекция 23
23.1. Множества в метрическом пространстве
23.2. Компактность и непрерывность
23.3. Компактность единичной сферы
23.4. Эквивалентные нормы
23.5. Компактность замкнутых ограниченных множеств
23.6. Наилучшие приближения
Лекция 24
24.1. Евклидово пространство
24.2. Унитарное пространство
24.3. Билинейные и полуторалинейные формы
24.4. Длина вектора
24.5. Тождество параллелограмма
24.6. Ортогональность векторов
24.7. Ортогональность множеств
24.8. Ортогональная сумма подпространств
Лекция 25
25.1.Матрица Грама
25.2. Скалярное произведение в конечномерном пространстве
25.3. Перпендикуляр и проекция
25.4. Ортогональные системы
25.5. Процесс ортогонализации
25.6. Дополнение до ортогонального базиса
25.7. Биортогональные системы
25.8.QR-разложение матрицы
Лекция 26
26.1. Линейные функционалы
26.2. Сопряженное пространство
26.3. Примеры линейных функционалов
26.4. Размерность дополнительного пространства
26.5. Линейные функционалы и гиперплоскости
26.6. Опорные гиперплоскости
Лекция 27
27.1. Линейные операторы
27.2. Непрерывность и ограниченность
27.3. Операторная норма
27.4.Матричная норма
27.5. Норма Фробениуса
27.6. Сохранение норм
27.7. Унитарно инвариантные нормы
27.8. Сингулярное разложение матрицы
Лекция 28
28.1.Матрица линейного оператора
28.2. Произведение линейных операторов
28.3. Переход к другим базисам
28.4. Преобразование подобия
28.5. Инвариантные подпространства
28.6. Ядро и образ линейного оператора
28.7. Обратный оператор
28.8. Ортогональные дополнения ядра и образа
Лекция 29
29.1. Диагонализуемые матрицы
29.2. Собственные значения и собственные векторы
29.3. Собственные векторы для различных собственных значений
29.4. Характеристическое уравнение
29.5. Алгебраическая кратность собственного значения
29.6. Характеристический многочлен и подобие
29.7. Приведение к почти треугольной матрице
29.8.Матрицы Фробениуса
29.9. Вычисление характеристического многочлена
Лекция 30
30.1. Одномерные инвариантные подпространства
30.2. Геометрическая кратность собственного значения
30.3.Матричное выражение инвариантности
30.4. Сужение оператора на подпространство
30.5. Инвариантные пространства и сдвиги
30.6. Треугольная форма матрицы
30.7. Спектральный радиус
30.8. Теорема Шура
30.9. Делители и подпространства
Лекция 31
31.1. Многочлены от матрицы
31.2. Корневые пространства
31.3. Нильпотентные операторы
31.4. Корневое разложение
31.5. Блочно-диагональная форма матрицы
31.6. Теорема Гамильтона–Кэли
Лекция 32
32.1. Минимальное инвариантное подпространство
32.2.Жордановы цепочки
32.3.Жорданова форма матрицы
32.4. Индекс собственного значения
32.5.Жорданов базис в корневом пространстве
32.6. Существование и единственность жордановой формы
32.7. Инвариантные подпространства для вещественных матриц
32.8. Вещественный аналог жордановой формы
32.9. Вычисление жордановой формы
Лекция 33
33.1. Нормальные матрицы
33.2. Унитарные матрицы
33.3.Матрицы отражения и вращения
33.4. Эрмитовы матрицы
33.5. Эрмитово разложение
33.6. Неотрицательная и положительная определенность
33.7. Квадратный корень
33.8. Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы
33.9. Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы
Лекция 34
34.1.Матрица Фурье
34.2. Циркулянтные матрицы
34.3. Алгебры матриц
34.4. Одновременное приведение к треугольному виду
34.5. Быстрое преобразование Фурье
Лекция 35
35.1. Сингулярные числа и сингулярные векторы
35.2. Полярное разложение
35.3. Выводы из сингулярного разложения
35.4. Сингулярное разложение и решение систем
35.5.Метод наименьших квадратов
35.6. Псевдообратная матрица
35.7. Наилучшие аппроксимации с понижением ранга
35.8. Расстояние до множества вырожденных матриц
Лекция 36
36.1. Квадратичные формы
36.2. Конгруэнтность
36.3. Канонический вид квадратичной формы
36.4. Закон инерции
36.5. Эрмитова конгруэнтность
36.6. Канонический вид пары квадратичных форм
36.7.Метод Лагранжа
36.8.Метод квадратного корня
36.9. Критерий положительной определенности
Лекция 37
37.1. Разделение собственных значений эрмитовой матрицы
37.2. Вариационные свойства собственных значений
37.3. Возмущения собственных значений
37.4. Соотношения разделения
37.5. Критерий неотрицательной определенности
37.6. Вариационные свойства сингулярных чисел
37.7. Разделение сингулярных чисел
Лекция 38
38.1. Сопряженный оператор
38.2.Матрица сопряженного оператора
38.3. Нормальный оператор
38.4. Самосопряженный оператор
38.5. Минимизация на подпространствах
38.6.Метод сопряженных градиентов
38.7. Двучленные формулы
Лекция 39
39.1. Спектральные задачи
39.2. Непрерывность корней многочлена
39.3. Возмущение спектра матрицы
39.4. Преобразования отражения и вращения
39.5. Приведение к треугольному виду
39.6. Приведение к почти треугольному виду
39.7. Приведение к двухдиагональному виду
39.8. Вычисление сингулярных чисел
Лекция 40
40.1.Многомерные массивы и матрицы
40.2. Трехмерные массивы и трилинейные разложения
40.3. Сечения трехмерного массива
40.4. Примеры трилинейных разложений
40.5. Все не так
40.6. Эквивалентные трилинейные разложения
40.7. Единственность с точностью до эквивалентности
40.8. Тензорный ранг и умножение матриц
Дополнение к лекциям
Литература
Предметный указатель
Рекомендуем
Артикул 00-01012956
