- Артикул:00-01102878
- Автор: Михлин С.Г.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Высшая школа (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 432
- Формат: 60х90 1/16
- Год: 1977
- Вес: 1230 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все книги серии)
Развернуть ▼
В книге исследуются три классических типа уравнений математической физики: эллиптический, параболический и гиперболический. Изложение проводится для пространства: любого числа измерений с широким привлечением методов функционального анализа и понятия обобщенных решений.
Предназначается для студентов-математиков, а также для аспирантов и научных работников.
Предисловие
Введение
§ 1. Предмет курса
§ 2. Некоторые определения и обозначения
Глава 1. Интегралы, зависящие от параметра
§ 1. Равномерно сходящиеся интегралы
§ 2. Сферические координаты
§ 3. Интегральные операторы со слабой особенностью
§ 4. Интегральные операторы со слабой особенностью (продолжение)
Глава 2. Средние функции и обобщенные производные
§ 1. Усредняющее ядро
§ 2. Средние функции
§ 3. Понятие обобщенной производной
§ 4. Простейшие свойства обобщенной производной
§ 5. Предельные свойства обобщенных производных
§ 6. Случай одной независимой переменной
§ 7. Об одном свойстве функций, имеющих обобщенную первую производную
§ 8. Производные от интегралов со слабой особенностью
Глава 3. Пространства функций с обобщенными производными
§ 1. Определение пространства W k/p
§ 2. Соболевское интегральное Тождество
§ 3. Теоремы вложения
§ 4. Распространение на более общие области
§ 5. Эквивалентные нормы в Соболевских пространствах
§ 6. Неравенства Фридрихса и Пуанкаре
Глава 4. Положительно определенные операторы
§ 1. Квадратичные функционалы
§ 2. Положительно определенные операторы
§ 3. Энергетическое пространство
§ 4. Функционал энергии и задача о его минимуме
§ 5. Обобщенное решение
§ 6. О сепарабельности энергетического пространства
§ 7. Расширение положительно определенного оператора
§ 8. Простейшая краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального оператора
§ 9. Более общая задача о минимуме квадратичного функционала
§ 10. Случай только положительного оператора
Глава 5. Собственный спектр положительно определенного оператора
§ 1. Понятие о собственном спектре оператора
§ 2. Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора
§ 3. Обобщенный собственный спектр положительно определенного оператора
§ 4. Вариационная, формулировка задачи о собственном спектре
§ 5. Теорема о наименьшем собственном числе
§ 6. Теорема о дискретности спектра
§ 7. Разложение по собственному спектру положительно определенного оператора
§ 8. Задача Штурма - Лиувилля
§ 9. Элементарные случаи
§ 10. Минимаксимальный принцип
§ 11. О росте собственных чисел задачи Штурма - Лиувилля
Глава 6. Уравнения в банаховых пространствах и одномерные сингулярные уравнения
§ 1. Некоторые понятия
§ 2. Теоремы Нетера
§ 3. Теоремы об устойчивости индекса
§ 4. Символ
§ 5. Сингулярный интеграл Коши
§ 6. Оператор Коши в пространстве L2 (Г)
§ 7. Символ и регуляризация сингулярного оператора
§ 8. Вычисление индекса сингулярного оператора
Глава 7. Элементы теории многомерных сингулярных интегралов
§ 1. Преобразование Фурье
§ 2. Определение и условия существования сингулярного интеграла
§ 3. Теорема Жиро
§ 4. Преобразование Фурье сингулярного ядра
§ 5. Сингулярные интегралы в L2
§ 6. О дифференцировании интегралов со слабой особенностью
Глава 8. Уравнения и краевые задачи
§ 1. Дифференциальное выражение и дифференциальное уравнение
§ 2. Классификация уравнений второго порядка
§ 3. Краевые условия и краевые задачи
§ 4. Задача Коши
§ 5. Проблемы существования, единственности и корректности для краевой задачи
Глава 9. Характеристики. Канонический вид. Формулы Грина
§ 1. Преобразование независимых переменных
§ 2. Характеристики. Соотношение между данными Коши на характеристике
§ 3. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду
§ 4. Формально сопряженные дифференциальные выражения
§ 5. Дифференциальные выражения высших порядков
§ 6. Формулы Грина
Глава 10. Обобщенные решения дифференциальных уравнений
§ 1 Локально суммируемые обобщенные решения
§ 2. Распределения и обобщенные функции
§ 3. Обобщенные функции конечного порядка
§ 4. Решения из класса обобщенных функций. Сингулярные решения
§ 5. Сингулярное решение уравнения Лапласа
§ 6. Сингулярное решение уравнения теплопроводности
§ 7. Сингулярное решение волнового уравнения
Глава 11. Уравнение Лапласа и гармонические функции
§ 1. Основные понятия
§ 2. Замена переменных в операторе Лапласа
§ 3. Интегральное представление функций класса С(2) и гармонических функций
§ 4. Понятие о потенциалах
§ 5. Свойства объемного потенциала
§ 6. Теоремы о среднем
§ 7. Принцип максимума
§ 8. Подпространства гармонических функций
Глава 12. Задачи Дирихле и Неймана
§ 1. Постановку задач
§ 2. Теоремы единственности для уравнения Лапласа
§ 3. Решение задачи Дирихле для шара
§ 4. Теорема Лиувилля
§ 5. Задача Дирихле для внешности сферы
§ 6. Производные гармонической функции на бесконечности
§ 7. Устранимые особенности гармонических функций
Глава 13. Сферические функции
§ 1. Понятие о сферических функциях
§ 2. Дифференциальное уравнение сферических функций
§ 3. Вспомогательные построения и утверждения
§ 4. Оператор б и его степени. Ортогональность сферических функций
§ 5. Разложение сингулярного решения в ряд полиномов
§ 6. Интегральное уравнение сферических функций
§ 7. Полнота системы сферических функций
Глава 14. Теория потенциала
§ 1. Поверхности Ляпунова
§ 2. Телесный угол
§ 3. Прямое значение потенциала двойного слоя
§ 4. Интеграл Гаусса
§ 5. Предельные значения потенциала двойного слоя
§ 6. Непрерывность потенциала простого слоя
§ 7. Нормальная производная потенциала простого слоя
Глава 15. Интегральные уравнения теории потенциала
§ 1. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям
§ 2. Задачи Дирихле и Неймана для полупространства
§ 3. Исследование первой пары сопряженных уравнений
§ 4. Исследование второй пары сопряженных уравнений
§ 5. Решение внешней задачи Дирихле
§ 6. Случай двух независимых переменных
§ 7. Уравнения теории потенциала для круга
Глава 16. Задача о косой производной
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Случай двух переменных. Индекс задачи
§ 3. О непрерывности решений
§ 4. Более простой случай задачи о косой производной
§ 5. Случай многих переменных
Глава 17. Вариационный метод. Слабые решения
§ 1. Задача Дирихле с однородным краевым условием
§ 2. Энергетическое пространство задачи Дирихле
§ 3. Задача Дирихле для однородного уравнения
§ 4. Вторые производные слабого решения уравнения Лапласа
§ 5. Об условии продолжимости
§ 6. Функция Грина
§ 7. Задача Неймана с однородным краевым условием
§ 8. Задача Неймана с неоднородным краевым условием
§ 9. Эллиптические уравнения высших порядков; системы уравнений
§ 10. Задача Дирихле для бесконечной области
Глава 18. Спектр задач Дирихле и Неймана
§ 1. Об одной теореме вложения
§ 2. Спектр задачи Дирихле для конечной области
§ 3. Элементарные случаи
§ 4. Оценка роста собственных чисел
§ 5. Спектр задачи Неймана для конечной области
§ 6. О несамосопряженных уравнениях
§ 7. Задачи Дирихле и Неймана для несамосопряженного эллиптического уравнения
Глава 19. Сильные решения
§ 1. Решение уравнения Лапласа для параллелепипеда
§ 2. Умножение слабого решения на гладкую функцию
§ 3. Сильные решения в произвольной области
§ 4. Неоднородные краевые условия
§ 5. Случай достаточно гладкой границы
Глава 20. Уравнение теплопроводности
§ 1. Уравнение теплопроводности и его характеристики
§ 2. Принцип максимума
§ 3. Задача Коши и смешанная задача
§ 4. Теоремы единственности
§ 5. Абстрактные функции вещественной переменной
§ 6. Слабое решение смешанной задачи
Глава 21. Волновое уравнение
§ 1. Понятие о волновом уравнении
§ 2. Смешанная задача и ее слабое решение
§ 3. Волновое уравнение с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Характеристический конус
§ 4. Теорема единственности для задачи Коши. Область зависимости
§ 5. Явление распространения волн
Глава 22. Метод Фурье
§ 1. Метод Фурье для уравнения теплопроводности
§ 2. Обоснование метода Фурье
§ 3. О корректности смешанной задачи для уравнения теплопроводности
§ 4. О стабилизации решения
§ 5. О существовании классического решения
§ 6. Случай несамосопряженной эллиптической части
§ 7. Метод Фурье для волнового уравнения
§ 8. Обоснование метода для однородного уравнения
§ 9. Обоснование метода для однородных начальных условий
§ 10. Уравнение колебаний струны. Условия существования классического решения
Глава 23. Задача Коши для уравнения теплопроводности
§ 1. Формула Пуассона
§ 2. Другой вывод формулы Пуассона
§ 3. Обоснование формулы Пуассона
§ 4. Бесконечная скорость теплопередачи
Глава 24. Задача Коши для волнового уравнения
§ 1. Применение преобразования Фурье
§ 2. Применение сингулярного решения
§ 3. Случай нечетного числа координат. Обобщенная формула Кирхгофа
§ 4. Задний фронт волны
§ 5. Обоснование формулы Кирхгофа
§ 6. Случай четного числа координат
§ 7. Уравнение колебаний струны
§ 8. О корректности задачи Коши
Литература
Алфавитный указатель
Рекомендуем
