- Артикул:00-01090322
- Автор: А. Д. Мышкис
- ISBN: 978-5-8114-0572-5
- Тираж: 2000 экз.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Лань (все книги издательства)
- Город: СПб
- Страниц: 688
- Формат: 60 х 90 1/16
- Год: 2009
- Вес: 933 г
- Учебники для вузов. Специальная литература
Развернуть ▼
Книга выходила в 1964-1979 годах девятью изданиями на четырех языках и допущена MBCCO СССР в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений. Ее содержание соответствует программе общего курса высшей математики для инженерно-технических специальностей; включен ряд вопросов, выходящих за рамки этой программы, но непосредственно примыкающих к ней. Книгу можно использовать как при прохождении курса в институте, так и при самообразовании, ее можно читать в том или ином объеме в зависимости от потребностей. Важной особенностью книги является ее нацеленность на воспитание прикладного математического мышления и облегчение дальнейшего применения математики в общеинженерных и специальных дисциплинах. К настоящему изданию весь текст пересмотрен и существенно модернизирован. Добавлена новая глава «Понятие об уравнениях математической физики», существенно расширена глава «Элементы теории вероятностей и математической статистики».К настоящему изданию текст пересмотрен внесены изменения.
Оглавление
Глава 1. Величина и функция
§ 1.1. Величина
1. Понятие величины
2. Размерность величины
3. Постоянные и переменные величины
4. Числовая ось
5. Характеристики переменных величин
§ 1.2. Приближенные значения величины
6. Понятие приближенного значения
7. Погрешности
8. Запись приближенных чисел
9. Сложение и вычитание приближенных чисел
10. Умножение и деление приближенных чисел. Общие замечания
§ 1.3. Функции и графики
11. Функциональная зависимость
12. Обозначения
13. Способы задания функций
14. Графики функций
15. Область определения функции
16. Характеристики поведения функции
17. Алгебраическая классификация функций
18. Элементарные функции
19. Преобразования графиков
20. Неявное задание функций
21. Взаимно обратные функции
§ 1.4. Обзор простейших функций
22. Линейная функция
23. Квадратичная функция
24. Степенная функция
25. Дробно-линейная функция
26. Логарифмическая функция
27. Показательная функция
28. Гиперболические функции
29. Тригонометрические функции
30. Подбор эмпирической формулы
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
§ 2.1. Координаты на плоскости
1. Декартовы координаты
2. Простые задачи на декартовы координаты
3. Полярные координаты
§ 2.2. Линии на плоскости
4. Уравнение линии в декартовых координатах
5. Уравнение линии в полярных координатах
6. Параметрическое задание линий и функций
7. Алгебраические линии
8. Особые случаи
§ 2.3. Алгебраические линии первых двух порядков
9. Линии первого порядка
10. Линейные неравенства с двумя неизвестными
1. Линии второго порядка: введение
12. Эллипс
13. Гипербола
14. Парабола
15. Родство эллипса, гиперболы и параболы
16. Упрощение уравнения линии второго порядка
Глава 3. Предел. Непрерывность
§ 3.1. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
1. Бесконечно малые величины
2. Свойства бесконечно малых
3. Бесконечно большие величины
§ 3.2. Пределы
4. Определение
5. Свойства пределов
6. Сумма числового ряда
§ 3.3. Сравнение переменных величин
7. Сравнение бесконечно малых
8. Свойства эквивалентных бесконечно малых
9. Важные примеры
10. Порядок малости
11. Сравнение бесконечно больших
§ 3.4. Непрерывные и разрывные функции
12. Развернутое определение непрерывной функции
13. Точки разрыва
14. Свойства непрерывных функций
15. Некоторые приложения
Глава 4. Производные, дифференциалы, исследование поведения функции
§ 4.1. Производная
1. Примеры, приводящие к понятию производной
2. Определение производной НО
3. Геометрический смысл производной НО
4. Основные свойства производной
5. Производные основных элементарных функций
6. Касательная в полярных координатах
§ 4.2. Дифференциал
7. Физические примеры
8. Определение дифференциала и связь его с приращением
9. Свойства дифференциала
10. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
§ 4.3. Производные и дифференциалы высших порядков
11. Производные высших порядков
12. Дифференциалы высших порядков
§ 4.4. Правило Лопиталя
13. Неопределенности вида oo
14. Неопределенности вида ii
§ 4.5. Формула и ряд Тейлора
15. Формула Тейлора
16. Ряд Тейлора
§ 4.6. Интервалы монотонности и экстремум
17. Знак производной
18. Точки экстремума
19. Наибольшее и наименьшее значения функции
§ 4.7. Построение графиков
20. Участки выпуклости графика и точки перегиба
21. Асимптоты графика
22. Общая схема исследования функции и построения ее графика
Глава 5. Приближенное решение конечных уравнений. Интерполяция
§ 5.1. Приближенное решение конечных уравнений
1. Введение
2. Методы проб, хорд и касательных
3. Метод итераций
4. Формула конечных приращений
5. Метод малого параметра
§ 5.2. Интерполяция
6. Интерполяционная формула Лигринжа
7. Конечные разности и их связь с производными
8. Интерполяционные формулы Ньютона
9. Численное дифференцирование
Глава 6. Комплексные числа и функции
§ 6.1. Комплексные числа
1. Комплексная плоскость
2. Алгебраические действия над комплексными числами
3. Сопряженные комплексные числа
4. Формула Эйлера
5. Логарифмы комплексных чисел
§ 6.2. Комплексные функции от вещественного аргумента
6. Определение и свойства
7. Применение к описанию колебаний
§ 6.3. Понятие о функциях комплексного переменного
8. Разложение многочлена на множители
9. Разложение дробно-рациональной функции на простейшие рациональные дроби
10. Общие замечания о функциях комплексного переменного
Глава 7. Векторы
§ 7.1. Линейные действия над векторами
1. Скалярные и векторные величины
2. Сложение векторов
3. Нуль-вектор и вычитание векторов
4. Умножение вектора на скаляр
5. Линейная комбинация векторов
§ 7.2. Скалярное произведение векторов
6. Проекция вектора на ось
7. Скалярное произведение
8. Свойства скалярного произведения
§ 7.3. Декартовы координаты в пространстве
9. Декартовы координаты в пространстве
10. Простые задачи на декартовы координаты
§ 7.4. Векторное произведение векторов
11. Ориентация поверхности и вектор площадки
12. Векторное произведение
13. Свойства векторного произведения
14. Истинные векторы и псевдовекторы
§ 7.5. Произведения трех векторов
15. Векторно-скалярное произведение
16. Векторно-векторное произведение
§ 7.6. Линейные пространства
17. Понятие линейного пространства
18. Примеры
19. Размерность линейного пространства
20. Понятие евклидова пространства
21. Ортогональность
§ 7.7. Векторные функции скалярного аргумента и кривизна
22. Переменные векторные величины
23. Векторная функция скалярного аргумента
24. Понятия, связанные со второй производной
25. Соприкасающаяся окружность
26. Эволюта и эвольвента
Глава 8. Элементы линейной алгебры
§ 8.1. Матрицы и определители
1. Матрицы
2. Действия над матрицами
3. Определители
4. Свойства определителей
5. Разложение определителя по элементам ряда
6. Два простых применения определителей
7. Обратная матрица
8. Собственные векторы и собственные значения матрицы
9. Ранг матрицы
§ 8.2. Системы линейных алгебраических уравнений
10. Общая теорема о разрешимости
11. Численное решение
§ 8.3. Линейные отображения
12. Линейное отображение и его матрица
13. Преобразование матрицы отображения при замене базиса
14. Матрица отображения в базисе из собственных векторов
15. Замена декартова базиса
16. Симметрические матрицы
§ 8.4. Квадратичные формы
17. Квадратичные формы
18. Знак квадратичной формы
Глава 9. Неопределенный интеграл
§ 9.1. Элементарные методы интегрирования
1. Основные определения
2. Простейшие интегралы
3. Простейшие свойства неопределенного интеграла
4. Интегрирование по частям
5. Замена переменной интегрирования
§ 9.2. Систематическое интегрирование
6. Интегрирование рациональных функций
7. Линейные и дробно-линейные иррациональности
8. Квадратичные иррациональности
9. Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических функций
10. Общие замечания
Глава 10. Определенный интеграл
§ 10.1. Определение и основные свойства
1. Примеры, приводящие к понятию определенного интеграла
2. Основное определение
3. Связь определенного интеграла с неопределенным
4. Основные свойства определенного интеграла
5. Интегрирование неравенств
§ 10.2. Применения определенного интеграла
6. Две схемы применения
7. Вычисление площадей плоских фигур
8. Длина дуги
9. Объем тела
10. Площадь поверхности вращения
§ 10.3. Численное интегрирование
11. Общие замечания
12. Формулы численного интегрирования
§ 10.4. Несобственные интегралы
13. Интеграл с бесконечным пределом интегрирования
14. Основные свойства интегралов с бесконечным пределом интегрирования
15. Несобственные интегралы иных видов
16. Гамма-функция
17. Бета-функция
18. Главное значение расходящегося интеграла
§ 10.5. Интегралы, зависящие от параметра
19. Собственные интегралы
20. Несобственные интегралы
§ 10.6. Криволинейные интегралы
21. Интеграл по длине дуги
22. Интеграл по координате
§ 10.7. Понятие об обобщенных функциях
23. Дельта-функция
24. Приложение к построению функции влияния
25. Другие обобщенные функции
Глава 11. Дифференциальные уравнения
§ 11.1. Общие понятия
1. Примеры
2. Основные определения
§ 11.2. Уравнения первого порядка
3. Геометрический смысл
4. Интегрируемые типы уравнений
5. Уравнение для экспоненты
6. Особые точки и особые решения
7. Уравнения, не разрешенные относительно производной
§ 11.3. Уравнения высших порядков и системы уравнений
8. Уравнения высших порядков
9. Связь уравнений высшего порядка с системами уравнений первого порядка
10. Геометрический смысл системы уравнений первого порядка
11. Первые интегралы
§ 11.4. Линейные уравнения общего вида
12. Линейные однородные уравнения
13. Неоднородные уравнения
14. Краевые задачи
§ 11.5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
15. Однородные уравнения
16. Неоднородные уравнения с квазимногочленом в правой части
17. Уравнение Эйлера
18. Понятие о применении операционного исчисления
19. Операторы и операторное решение уравнений
§ 11.6. Системы линейных уравнений
20. Системы линейных уравнений общего вида
21. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами
22. Приложение к выяснению устойчивости по Ляпунову состояния равновесия
§ 11.7. Приближенное и численное решение уравнений
23. Метод итераций
24. Применение ряда Тейлора
25. Применение степенных рядов с неопределенными коэффициентами
26. Функции Бесселя
27. Метод малого параметра
28. Общие замечания о зависимости решения от параметра
29. Методы улучшения невязки
30. Метод упрощения
31. Метод Эйлера
32. Метод Рунге-Кутта
33. Метод Милна
Глава 12. Функции нескольких переменных
§ 12.1. Функции двух переменных
1. Способы задания
2. Область определения
3. Линейная функция
4. Непрерывность и разрывы
5. Неявные функции
§ 12.2. Функции любого числа переменных
6. Способы задания
7. Функции трех переменных
8. Общий случай
9. Поле
§ 12.3. Частные производные и дифференциалы первого порядка
10. Основные определения
11. Полный дифференциал
12. Производная сложной функции
13. Производные неявных функций
14. Линеаризация нелинейной зависимости
§ 12.4. Частные производные и дифференциалы высших порядков 4
15. Определения
16. Равенство смешанных производных
17. Полный дифференциал высшего порядка
18. Формула Тейлора для функции нескольких переменных
Глава 13. Аналитическая геометрия в пространстве
§ 13.1. Координаты в пространстве
1. Различные виды координат в пространстве
2. Число степеней свободы
§ 13.2. Поверхности и линии в пространстве
3. Поверхности в пространстве
4. Цилиндры, конусы, поверхности вращения
5. Линия в пространстве
6. Параметрическое задание поверхностей в пространстве и функций
§ 13.3. Алгебраические поверхности первых двух порядков
7. Поверхности первого порядка
8. Эллипсоид
9. Гиперболоиды
10. Параболоиды
11. Обзор поверхностей второго порядка
Глава 14. Применение частных производных
§ 14.1. Скалярное поле
1. Производная по направлению и градиент
2. Поверхности уровня
3. Неявные функции двух переменных
4. Плоские поля
§ 14.2. Экстремум функции нескольких переменных
5. Экстремум
6. Метод наименьших квадратов
7. Кривизна поверхностей
8. Условный экстремум
9. Экстремум с ограничениями
§ 14.3. Нелинейные отображения
10. Общие понятия
11. Нелинейное отображение в малом
12. Функциональная зависимость функций
§ 14.4. Некоторые другие применения
13. Огибающая однопараметрического семейства линий
14. Численное решение систем конечных уравнений
15. Условия независимости криволинейного интеграла по координатам от контура интегрирования
16. Приложение к дифференциальным уравнениям первого порядка
17. Устойчивость по Ляпунову состояния равновесия нелинейной системы
18. Варьирование нелинейного дифференциального уравнения
Глава 15. Кратные интегралы
§ 15.1. Определением основные свойства кратных интегралов
1. Примеры, приводящие к понятию кратного интеграла
2. Определение кратных интегралов
3. Основные свойства интегралов
4. Основные методы применения кратных интегралов
5. Геометрический смысл интеграла, взятого по плоской фигуре
§ 15.2. Два типа физических величин
6. Основной пример. Масса и плотность
7. Величины, распределенные по пространству
§ 15.3. Вычисление кратных интегралов в декартовых координатах
8. Интеграл по прямоугольнику
9. Интеграл по произвольной плоской фигуре
10. Интеграл по произвольной поверхности
11. Интеграл по объему
§ 15.4. Замена переменных в кратных интегралах
12. Переход к полярным координатам на плоскости
13. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в пространстве
14. Общие криволинейные координаты на плоскости
15. Общие криволинейные координаты в пространстве
16. Координаты на поверхности
§ 15.5. Варианты кратных интегралов
17. Несобственные интегралы
18. Интегралы, зависящие от параметра
19. Интеграл по общей мере и обобщенные функции
20. Многомерные интегралы
§ 15.6. Векторное поле
21. Векторные линии
22. Поток вектора через поверхность
23. Дивергенция
24. Выражение дивергенции в декартовых координатах
25. Линейный интеграл и циркуляция
26. Ротор
27. Формулы Грина и Стокса
28. Выражение векторных операций в криволинейной ортогональной системе координат
29. Общая формула для преобразования интегралов
Глава 16. Ряды
§ 16.1. Числовые ряды
1. Общие свойства
2. Ряды с положительными членами
3. Ряды с членами любого знака
4. Действия с рядами
5. Скорость сходимости ряда
6. Ряды с комплексными, векторными и матричными членами
7. Кратные ряды
§ 16.2. Общие функциональные ряды
8. Введение. Уклонение функций
9. Сходимость функционального ряда
10. Свойства функциональных рядов
§ 16.3. Степенные ряды
11. Интервал сходимости
12. Свойства степенных рядов
13. Конечные действия над степенными рядами
14. Степенной ряд как ряд Тейлора
15. Степенные ряды с комплексными членами
16. Понятие о числах Бернулли
17. Применение рядов к решению разностных уравнений
18. Кратные степенные ряды
19. Функции от матриц
20. Асимптотические разложения
§ 16.4. Тригонометрические ряды
21. Свойство ортогональности
22. Ряды по ортогональным системам функций
23. Ряды Фурье
24. Разложение периодической функции
25. Пример. Функции Бесселя как коэффициенты Фурье
26. Характер сходимости ряда Фурье
27. Комплексная форма ряда Фурье
28. Равенство Парсеваля
29. Пространство Гильберта
30. Ортогональность с весом
31. Кратные ряды Фурье
§ 16.5. Преобразование Фурье
32. Формулы преобразования Фурье
33. Свойства преобразования Фурье
Глава 17. Понятие об уравнениях математической физики
§ 17.1. Введение
1. Вывод некоторых уравнений математической физики и основных задач для них
§ 17.2. Одномерное волновое уравнение
2. Однородное волновое уравнение на прямой
3. Отражение волн
4. Неоднородное волновое уравнение на прямой
5. Однородное волновое уравнение на конечном интервале
6. Неоднородное волновое уравнение на конечном интервале
7. Телеграфное уравнение
§ 17.3. Уравнение теплопроводности
8. Уравнение теплопроводности на конечном интервале
9. Однородное уравнение теплопроводности на прямой
10. Неоднородное уравнение теплопроводности на прямой
11. Уравнение теплопроводности на полупрямой
§ 17.4. Уравнения Лапласа и Пуассона
12. Уравнения Лапласа и Пуассона в прямоугольнике
13. Уравнение Лапласа в круге
§ 17.5. Некоторые численные методы
14. Понятие о методе сеток
15. Метод Галеркина
Глава 18. Элементы теории вероятностей и математической статистики
§ 18.1. Случайные события и их вероятности
1. Случайные события
2. Вероятность
3. Основные свойства вероятности
4. Правило умножения вероятностей
5. Формула полной вероятности
6. Формула вероятностей гипотез
7. Принцип игнорирования маловероятных событий
§ 18.2. Случайные величины
8. Определения
9. Примеры дискретных случайных величин
10. Примеры непрерывных случайных величин
11. Функции от случайного аргумента
§ 18.3. Числовые характеристики случайных величин
12. Математическое ожидание
13. Свойства математического ожидания
14. Дисперсия
15. Основные примеры
16. Характеристическая функция
17. Нормальный закон как предельный
18. Применение функции Лапласа
§ 18.4. Системы случайных величин
19. Система двух дискретных случайных величин
20. Система двух непрерывных случайных величин
21. Функция от двух случайных аргументов
22. Случайная точка на плоскости
§ 18.5. Случайные процессы
23. Однородные цепи Маркова с конечным числом состояний
24. Однородные марковские процессы с непрерывным временем и конечным числом состояний
25. Простейший поток событий
26. Случайные функции
27. Стационарные случайные функции
28. Спектральное разложение стационарной случайной функции
§ 18.6. Элементы математической статистики
29. Эмпирический закон распределения случайной величины
30. Точечные оценки параметров распределения
31. Метод моментов для оценки параметров распределения
32. Интервальные оценки параметров распределения
33. Статистический анализ связи между случайными величинами
Предметный указатель
Литература
Рекомендуем
