- Артикул:00-01058039
- Автор: Г.Н. Яковлев
- ISBN: 5-94052-084-7
- Тираж: 3000 экз.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Физматлит (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 340
- Формат: 60х90 1/16
- Год: 2004
- Вес: 559 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все книги серии)
Развернуть ▼
Учебное пособие написано на основе курса лекций, читаемых автором студентам Московского физико-технического института (государственного университета).
Для студентов физических, математических и инженерных специальностей.
Содержание
Предисловие
Глава 1. Последовательности действительных чисел
§ 1. Бесконечные десятичные дроби и действительные числа
1.1. Конечные и бесконечные десятичные дроби
1.2. Сравнение десятичных дробей
1.3. Числовая прямая
1.4. Кванторы существования и всеобщности
1.5. Десятичные приближения и их свойства
§ 2. Предел числовой последовательности
2.1. Числовые последовательности. Подпоследовательности
2.2. Предел последовательности. Единственность предела
2.3. Переход к пределу в неравенствах
2.4. Монотонные последовательности
§ 3. Арифметика действительных чисел
3.1. Лемма о единственности
3.2. Сумма и разность действительных чисел
3.3. Произведение и частное действительных чисел
3.4. Степени с целыми показателями
3.5. Неравенство Бернулли и число е
§ 4. Предел суммы, разности, произведения и частного
4.1. е-окрестности
4.2. Бесконечно малые последовательности и их свойства
4.3. Предел суммы, разности и произведения
4.4. Предел модуля и предел частного
§ 5. Степени и логарифмы
5.1. Степени с рациональными показателями
5.2. Степени с действительными показателями
5.3. Логарифмы
§ 6. Принцип вложенных отрезков, теорема Больцано-Вейер-штрасса и критерий Коши
6.1. Принцип вложенных отрезков
6.2. Теорема Больцано-Вейерштрасса
6.3. Критерий Коши
6.4. Точные грани числовых множеств
6.5. Лемма о покрытии отрезка интервалами
§ 7. Числовые множества
7.1. Операции над множествами. Конечные и бесконечные множества
7.2. Счетные и несчетные множества
7.3. Открытые и замкнутые множества
7.4. Мера множеств точек действительной прямой
Глава 2. Функции одной переменной
§ 1. Примеры числовых функций
1.1. Определение числовой функции
1.2. Обратные функции. Сложные функции
1.3. Показательная и логарифмическая функции
1.4. Степенная функция
1.5. Длина дуги окружности
1.6. Тригонометрические функции
1.7. Элементарные функции
§ 2. Пределы функций
2.1. Определение предела функции по Гейне
2.2. Определение предела функции по Коши
2.3. Свойства пределов функций
2.4. Односторонние пределы. 2.5. Критерий Коши существования предела функции
§ 3. Непрерывные функции
3.1. Определение непрерывности. Точки разрыва
3.2. Свойства функций, непрерывных на ограниченных замкнутых множествах
3.3. Свойства функций, непрерывных на промежутках
3.4. Непрерывность обратной функции
§ 4. Непрерывность элементарных функций
4.1. Многочлены и рациональные функции
4.2. Показательная и логарифмическая функции
4.3. Степенная функция
4.4. Тригонометрические функции
4.5. Замечательные пределы
§ 5. Сравнение асимптотического поведения функций
5.1. Функции одного порядка при х - хо
5.2. Функции разных порядков при х - хо
5.3. Эквивалентные функции при х - хо
5.4. Асимптоты
Глава 3. Производные, дифференциалы и первообразные
§ 1. Определения производных и дифференциалов
1.1. Определение производной
1.2. Линейное приближение и дифференциал
1.3. Геометрический смысл производной. 1.4. Определения производных и дифференциалов высших порядков
§ 2. Правила дифференцирования
2.1. Производная суммы, разности, произведения и частного
2.2. Производная сложной функции
2.3. Производная обратимой функции
2.4. Производные и дифференциалы высших порядков
§ 3. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
3.1. Теорема Ферма
3.2. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
3.3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
3.4. Разложения по формуле Тейлора основных элементарных функций
§ 4. Первообразные и неопределенные интегралы
4.1. Определения
4.2. Основные свойства интегралов
4.3. Таблица неопределенных интегралов
4.4. Методы интегрирования
4.5. Интегрирование рациональных функций
Глава 4. Исследование функций с помощью производных
§ 1. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей
1.1. Неопределенности вида 0/0
1.2. Неопределенности вида 8/8
§ 2. Асимптотические разложения по формуле Тейлора
2.1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
2.2. Единственность асимптотического разложения по степеням х - хо при х - хо
2.3. Асимптотические разложения по формуле Тейлора простейших элементарных функций
§ 3. Условия монотонности и выпуклости дифференцируемых функций. Экстремумы и точки перегиба
3.1. Условия постоянства, возрастания и убывания дифференцируемых функций
3.2. Необходимое и достаточные условия экстремума функции
3.3. Промежутки выпуклости
3.4. Точки выпуклости и точки перегиба
Глава 5. Векторные функции и кривые на плоскости и в пространстве
§ 1. Пределы и производные векторных функций
1.1. Определение и кинематическая интерпретация векторной функции
1.2. Пределы и непрерывность векторных функций
1.3. Производные векторных функций
1.4. Радиальная и трансверсальная составляющие производной
1.5. Старшие производные и формула Тейлора
§ 2. Кривые на плоскости и в пространстве
2.1. Параметрически заданные кривые
2.2. Касательная к кривой
2.3. Плоские кривые
§ 3. Длина кривой
3.1. Определение и основные свойства длины кривой
3.2. Длина дуги непрерывно дифференцируемой кривой
3.3. Скорость движения по траектории
§ 4. Кривизна плоской кривой
4.1. Кривизна и формулы Френе
4.2. Формулы для вычисления кривизны
4.3. Радиус кривизны, центр кривизны и эволюта
4.4. Эвольвента
4.5. Касательное и нормальное ускорения
§ 5. Кривизна и кручение пространственной кривой
5.1. Нормальная плоскость, кривизна, главная нормаль и эволюта
5.2. Соприкасающаяся плоскость и кручение
5.3. Формулы Френе
5.4. Формула для вычисления кручения
Глава 6. Функции многих переменных, отображения и множества точек многомерных пространств
§ 1. Функции, отображения и многомерные пространства
1.1. Числовые функции двух, трех и большего числа переменных
1.2. Частные производные
1.3. Функции точки и отображения
1.4. Многомерные пространства
§ 2. Пределы функций многих переменных
2.1. Пределы последовательностей точек
2.2. Предел функции в точке
2.3. Предел функции на бесконечности
2.4. Повторные пределы
§ 3. Множества точек n-мерного пространства
3.1. Открытые множества
3.2. Замкнутые множества
3.3. Граница множества
3.4. Компакты
3.5. Связные и линейно связные множества
3.6. Расстояние между множествами
§ 4. Непрерывные функции и отображения
4.1. Свойства функций и отображений, непрерывных в точке
4.2. Свойства функций и отображений, непрерывных на ограниченных замкнутых множествах
4.3. Свойства функций и отображений, непрерывных на линейно связных множествах
4.4. Свойства отображений, непрерывных на открытых множествах
4.5. Равномерно непрерывные функции и отображения
§ 5. Мера множеств точек на плоскости и в пространстве
5.1. Мера элементарных множеств. Определение меры Жордана
5.2. Свойства измеримых по Жордану множеств. Критерии измеримости ограниченных множеств
5.3. Примеры измеримых и неизмеримых множеств
5.4. Мера неограниченных множеств
Глава 7. Дифференцируемые функции многих переменных и функции комплексного переменного
§ 1. Производные и дифференциалы функций многих переменных
1.1. Определения
1.2. Дифференцирование сложной функции
1.3. Касательная плоскость к поверхности и геометрический смысл полного дифференциала
1.4. Частные производные высших порядков
1.5. Производная по направлению и градиент функции
1.6. Дифференциалы высших порядков
1.7. Формула Тейлора
§ 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного
2.1. Комплексные числа
2.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
2.3. Комплекснозначные функции действительного аргумента
2.4. Функции комплексного переменного
2.5. Основная теорема алгебры
2.6. Дифференцируемые функции
Глава 8. Определенный интеграл
§ 1. Определение критерия существования интеграла Римана
1.1. Разбиения промежутка на промежутки
1.2. Интегральные суммы
1.3. Интеграл Римана
1.4. Площадь криволинейной трапеции
1.5. Римановы последовательности разбиений
§ 2. Свойства интегрируемых функций и определенных интегралов
2.1. Свойства интегрируемых функций
2.2. Классы интегрируемых функций
2.3. Свойства линейности, аддитивности и монотонности интеграла
2.4. Интеграл по ориентированному промежутку
2.5. Определенный интеграл как функция верхнего (нижнего) предела
2.6. Вторая теорема о среднем
§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов
3.1. Формула Ньютона-Лейбница
3.2. Формула интегрирования по частям
3.3. Теоремы о замене переменной интегрирования
3.4. Приближенное вычисление интегралов. Формула прямоугольников
3.5. Интегралы от векторных функций
§ 4. Несобственные интегралы
4.1. Определения и примеры
4.2. Основные свойства
4.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признаки сравнения
4.4. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы
Биографическая полоска
Предметный указатель
Рекомендуем
