- Артикул:00-01053002
- Автор: Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков
- ISBN: 5-06-003955-2
- Тираж: 8000 экз.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Высшая школа (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 695
- Формат: 60х90 1/16
- Год: 2000
- Вес: 1000 г
- Серия: Учебник для ВУЗов (все книги серии)
Развернуть ▼
Книга является учебником по курсу математического анализа и посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных. В ее основу положены лекции, прочитанные авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.
В учебнике предложен новый подход к изложению ряда основных понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса. Первое издание вышло в 1999 г.
Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов с углубленным изучением математики.
Содержание
Предисловие
Часть 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Глава I. Введение
Лекция 1
§ 1. Множества. Операции над множествами. Декартово произведение. Отображения. Функции
Лекция 2
§ 2. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума
Лекция 3
§ 3. Вещественные числа
Лекция 4
§ 4. Полнота множества вещественных чисел.
§ 5. Леммы об отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и последовательности стягивающихся отрезков
Глава II. Предел последовательности
Лекция 5
§ 1. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли
§ 2. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства
Лекция 6
§ 3. Предел последовательности
§ 4. Предельный переход в неравенствах
Лекция 7
§ 5. Монотонные последовательности. Теорема Вейер-штрасса. Число “е” и постоянная Эйлера
Лекция 8
§ 6. Теорема Больцано - Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности
§ 7. Критерий Коши для сходимости последовательности
Глава III. Предел функции в точке
Лекция 9
§ 1. Понятие предела числовой функции
§ 2. База множеств. Предел функции по базе
Лекция 10
§ 3. Свойство монотонности предела функции
§ 4. Критерий Коши существования предела функции по базе
Лекция 11
§ 5. Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне
§ 6. Теоремы о пределе сложной функции
§ 7. Порядок бесконечно малой функции
Глава IV. Непрерывность функции в точке
Лекция 12
§ 1. Свойства функций, непрерывных в точке
§ 2. Непрерывность элементарных функций
Лекция 13
§ 3. Замечательные пределы
§ 4. Непрерывность функции на множестве
Лекция 14
§ 5. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке
Лекция 15
§ 6. Понятие равномерной непрерывности
§ 7. Свойства замкнутых и открытых множеств. Компакт. Функции, непрерывные на компакте
Глава V. Дифференцирование функций одной переменной
Лекция 16
§ 1. Приращение функции. Дифференциал и производная функции
Лекция 17
§ 2. Дифференцирование сложной функции
§ 3. Правила дифференцирования
Лекция 18
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков
§ 5. Возрастание и убывание функции в точке
Лекция 19
§ 6. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа
Лекция 20
§ 7. Следствия из теоремы Лагранжа
§ 8. Некоторые неравенства
§ 9. Производная функции, заданной параметрически
Лекция 21
§ 10. Раскрытие неопределенностей
Лекция 22
§ 11. Локальная формула Тейлора
§ 12. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме
Лекция 23
§ 13. Применение формулы Тейлора к некоторым функциям
Лекция 24
§ 14. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки. Выпуклость
Лекция 25
§ 15. Точки перегиба
Лекция 26
§ 16. Интерполирование
Лекция 27
§ 17. Метод хорд и метод касательных (метод Ньютона). Быстрые вычисления
Глава VI. Неопределенный интеграл
Лекция 28
§ 1. Точная первообразная. Интегрируемые функции
Лекция 29
§ 2. Свойства неопределенного интеграла
Лекция 30
Дополнение. Обобщение понятия предела по Гейне на функции, сходящиеся по базе множеств
Часть II. Интеграл Римана. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Глава VII. Определенный интеграл
Лекция 1
§ 1. Введение
§ 2. Определение интеграла Римана
Лекция 2
§ 3. Критерий интегрируемости функции по Риману
Лекция 3
§ 4. Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману
§ 5. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману
§ 6. Метод интегральных сумм
Лекция 4
§ 7. Свойства интеграла Римана как предела по базе
§ 8. Классы функций, интегрируемых по Риману
Лекция. 5
§ 9. Свойства определенного интеграла
§ 10. Аддитивность интеграла
Глава VIII. Основные теоремы теории интеграла Римана
Лекция 6
§ 1. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла
§ 2. Теорема Ньютона - Лейбница. Формулы суммирования Эйлера и Абеля
Лекция 7
§ 3. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле
§ 4. Первая и вторая теоремы о среднем значении
Лекция 8
§ 5. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме
§ 6. Неравенства, содержащие интегралы
Лекция 9
§ 7. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману
§ 8. Доказательство критерия Лебега
Глава IX. Несобственные интегралы
Лекция 10
§ 1. Определение несобственных интегралов первого и второго рода
§ 2. Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов
§ 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле
Лекция 11
§ 4. Несобственные интегралы второго рода
§ 5. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в несобственном интеграле
Глава X. Длина дуги кривой
Лекция 12
§ 1. Кривые в многомерном пространстве
§ 2. Теорема о длине дуги кривой
Глава XI. Мера Жордана
Лекция 13
§ 1. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела. Определение меры Жордана
§ 2. Критерий измеримости множества по Жордану
Лекция 14
§ 3. Свойства меры Жордана
§ 4. Измеримость спрямляемой кривой
§ 5. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции
Глава XII. Элементы теории меры и интеграла Лебега. Интеграл Стильтьеса
Лекция 15
§ 1. Определение и свойства меры Лебега
Лекция 16
§ 2. Интеграл Лебега
Лекция 17
§ 3. Интеграл Стильтьеса
Глава XIII. Некоторые понятия общей топологии. Метрические пространства
Лекция 18
§ 1. Определения
Лекция 19
§ 2. Хаусдорфовость метрического пространства в естественной топологии
§ 3. Внутренние, внешние и граничные точки множества в метрическом пространстве
§ 4. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений
Лекция 20
§ 5. Непрерывные отображения метрических пространств
§ 6. Понятие компакта. Компакты в Rn и полнота пространства Rn. Свойства непрерывных функций на компакте
§ 7. Связные множества и непрерывность
Глава XIV. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Лекция 21
§ 1. Непрерывные функции в Rn
§ 2. Дифференцируемые функции в Rn
Лекция 22
§ 3. Дифференцирование сложной функции
§ 4. Производная по направлению. Градиент
§ 5. Геометрический смысл дифференциала
Лекция 23
§ 6. Частные производные высших порядков
§ 7. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
Лекция 24
§ 8. Приложение формулы Тейлора. Локальный экстремум функции многих переменных
§ 9. Неявные функции
Лекция 25
§ 10. Система неявных функций
§ 11. Условный экстремум функции многих переменных
§ 12. Дифференцируемые отображения. Матрица Якоби
Часть III. Функциональные ряды и параметрические интегралы
Глава XV. Числовые ряды
Лекция 1
§ 1. Основные свойства сходящихся рядов. Критерий Коши
Лекция 2
§ 2. Ряды с неотрицательными членами
Лекция 3
§ 3. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами
Лекция 4
§ 4. Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница
§ 5. Признаки Абеля и Дирихле
Лекция 5
§ 6. Перестановки членов ряда
Лекция 6
§ 7. Арифметические операции над сходящимися рядами
Лекция 7
§ 8. Двойные и повторные ряды
Глава XVI. Функциональные последовательности и ряды
Лекция 8
§ 1. Сходимость функционального ряда
§ 2. Равномерная сходимость
Лекция 9
§ 3. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности
§ 4. Признаки равномерной сходимости
Лекция 1-
§ 5. Теорема Дини
§ 6. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда
Лекция 11
§ 7. Двойные и повторные пределы по базе множеств
Лекция 12
§ 8. Степенные ряды
Лекция 13
§ 9. Бесконечные произведения
Лекция 14
§ 10. Бесконечные определители
§ 11. Равностепенная непрерывность и теорема Арцела
Глава XVII. Интегралы, зависящие от параметра
Лекция 15
§ 1. Собственные параметрические интегралы и их непрерывность
§ 2. Дифференцирование и интегрирование собственных параметрических интегралов
Лекция 16
§ 3. Теорема Лагранжа
Лекция 17
§ 4. Равномерная сходимость по Гейне
§ 5. Эквивалентность двух определений равномерной сходимости
Лекция 18
§ 6. Равномерная сходимость несобственных параметрических интегралов
Лекция 19
§ 7. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру несобственных интегралов
Лекция 20
§ 8. Несобственные интегралы второго рода
§ 9. Применение теории параметрических интегралов
Лекция 21
§ 10. Интегралы Эйлера первого и второго рода
Лекция 22
§ 11. Формула Стирлинга
Глава XVIII. Ряды и интегралы Фурье
Лекция 23
§ 1. Представление дробной доли вещественного числа тригонометрическим рядом. Формула суммирования Пуассона. Суммы Гаусса
Лекция 24
§ 2. Неравенство Бесселя. Замкнутость и полнота ортонормированной системы функций
Лекция 25
§ 3. Замкнутость тригонометрической системы функций
§ 4. Простейшие свойства тригонометрических рядов Фурье
Лекция 26
§ 5. Интегральное представление для частичной суммы ряда Фурье. Принцип локализации Римана
§ 6. Признаки поточечной сходимости рядов Фурье
Лекция 27
§ 7. Поведение коэффициентов Фурье
§ 8. Разложение котангенса на простейшие дроби и представление синуса в виде бесконечного произведения
§ 9. Задача Кеплера и ряды Бесселя
Лекция 28
§ 10. Ядро Фейера и аппроксимационная теорема Вейер-штрасса
§11. Интеграл Дирихле и разложение на простейшие дроби
Лекция 29
§ 12. Преобразование Фурье и интеграл Фурье
Лекция 30
§ 13. Метод Лапласа и метод стационарной фазы
Часть IV. Кратный интеграл Римана. Поверхностные интегралы
Глава XIX. Кратные интегралы
Лекция 1
§ 1. Двойной интеграл Римана как предел по базе
§ 2. Суммы Дарбу и их свойства
Лекция 2
§ 3. Критерий Римана интегрируемости функции на прямоугольнике
§ 4. Специальный критерий интегрируемости функции на прямоугольнике
Лекция 3
§ 5. Измеримость по Жордану цилиндрической криволинейной фигуры
§ 6. Понятие двойного интеграла Римана по ограниченной области, измеримой по Жордану
Лекция 4
§ 7. Основные свойства двойного интеграла
§ 8. Переход от двойного интеграла к повторному
§ 9. Интегрируемость непрерывной функции на измеримом множестве
Лекция 5
§ 10. Многократные интегралы
§ 11. Свойства гладкого отображения на выпуклом множестве
Лекция 6
§ 12. Объем области в криволинейных координатах. Теорема о замене переменных в кратном интеграле
Лекция 7
§ 13. Критерий Лебега
Лекция 8
§ 14. Несобственные кратные интегралы
Лекция 9
§ 15. Площадь поверхности
§ 16. Площадь m-мерной поверхности в евклидовом пространстве п измерений
Глава XX. Криволинейные и поверхностные интегралы
Лекция 10
§ 1. Криволинейные интегралы
§ 2. Свойства криволинейных интегралов
Лекция 11
§ 3. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутому контуру. Формула Грина
Лекция 12
§ 4. Поверхностные интегралы
§ 5. Согласование ориентации поверхности и ее границы
Лекция 13
§ 6. Формула Стокса
§ 7. Формула Гаусса - Остроградского
Лекция 14
§ 8. Криволинейные интегралы, зависящие только от пределов интегрирования
§ 9. Элементы векторного анализа
Лекция 15
§ 10. Потенциальное и соленоидальное векторные поля
Глава XXI. Общая формула Стокса
Лекция 16
§ 1. Понятие ориентированной многомерной поверхности
§ 2. Согласование ориентаций поверхности и ее границы в общем случае
§ 3. Дифференциальные формы
§ 4. Замена переменных в дифференциальной форме
Лекция 17
§ 5. Интеграл от дифференциальной формы
§ 6. Операция внешнего дифференцирования
§ 7. Доказательство общей формулы Стокса
Лекция 18
Дополнение. Равномерное распределение значений числовых последовательностей на отрезке
§ 1. Понятие равномерного распределения. Лемма об оценке коэффициентов Фурье
§ 2. Критерий Г. Вейля
Примерные вопросы и задачи к коллоквиумам и экзаменам
Литература
Рекомендуем
