- Артикул:00-01102855
- Автор: Михлин С.Г.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Главная редакция физико-математической литературы "Наука" (все книги издательства)
- Город: Москва-Ижевск
- Страниц: 576
- Формат: 84х108 1/32
- Год: 1968
- Вес: 794 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все книги серии)
Развернуть ▼
Предлагаемый вниманию читателей курс представляет собой несколько расширенное изложение лекций по математической физике, которые я читал студентам-математикам Ленинградского университета в течение последних лет.
Как обычно, курс содержит только теорию линейных уравнений в частных производных, почти исключительно второго порядка. Естественным образом основное место в книге занимают наиболее разработанные и наиболее важные для приложений три классических типа уравнений: эллиптические, параболические и гиперболические.
Оглавление
Предисловие
Введение
Раздел I. Средние функции и обобщенные производные
Глава 1. Средние функции
§ 1. Усредняющее ядро
§ 2. Средние функции
§ 3. Сходимость средних функций
Упражнения
Глава 2. Обобщенные производные
§ 1. Понятие обобщенной производной
§ 2. Простейшие свойства обобщенной производной
§ 3. Предельные свойства обобщенных производных
§ 4. Случай одной независимой переменной
§ 5. Соболевские пространства и теоремы вложения
Упражнения
Раздел II. Элементы вариационного исчисления
Глава 3. Основные понятия
§ 1. Примеры на экстремум функционала
§ 2. Постановка задачи вариационного исчисления
§ 3. Вариация и градиент функционала
§ 4. Уравнение Эйлера
§ 5. Вторая вариация. Достаточное условие экстремума
§ 6. Изопериметрическая задача
§ 7. Минимизирующая последовательность
Упражнения
Глава 4. Функционалы, зависящие от числовых функций вещественных переменных
§ 1. Простейшая задача вариационного исчисления
§ 2. Исследование второй вариации
§ 3. Случай многих независимых переменных
§ 4. Функционалы, зависящие от производных высших порядков
§ 5. Функционалы, зависящие от нескольких функций
§ 6. Естественные краевые условия
Глава 5. Минимум квадратичного функционала
§ 1. Понятие о квадратичном функционале
§ 2. Положительно определенные операторы
§ 3. Энергетическое пространство
§ 4. Задача о минимуме квадратичного функционала
§ 5. Обобщенное решение
§ 6. О сепарабельности энергетического пространства
§ 7. Расширение положительно определенного оператора
§ 8. Простейшая краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения
§ 9. Более общая задача о минимуме квадратичного функционала
§ 10. Случай только положительного оператора
Упражнения
Глава 6. Собственный спектр положительно определенного оператора
§ 1. Понятие о собственном спектре оператора
§ 2. Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора
§ 3. Обобщенный собственный спектр положительно определенного оператора
§ 4. Вариационная формулировка задали о собственном спектре.
§ 5. Теорема о наименьшем собственном числе
§ 6. Теорема о дискретности спектра
§ 7. Задача Штурма - Лиувилля
§ 8. Элементарные случаи
§ 9. Минимаксимальный принцип
§ 10. О росте собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля Упражнения
Раздел III. Элементы теории интегральных уравнений
Глава 7. Вполне непрерывные операторы
§ ,1. Необходимые сведения из функционального анализа
§ 2. Оператор Фредгольма
§ 3. Интегральный оператор со слабой особенностью
§ 4. Операторы со слабой особенностью в пространстве непрерывных функций
Упражнения
Глава 8. Теория Фредгольма
§ 1. Уравнения с в. н. о. Интегральные уравнения
§ 2. Сведение к конечномерному уравнению. Доказательство первой и второй теорем Фредгольма
§ 3. Доказательство третьей теоремы Фредгольма
§ 4. Доказательство четвертой теоремы Фредгольма
§ 5. Альтернатива Фредгольма
§ 6. О непрерывности решений уравнения со слабой особенностью
Раздел IV. Общие сведения об уравнениях в частных производных
Глава 9. Уравнения и краевые задачи
§ 1. Дифференциальное выражение и дифференциальное уравнение
§ 2. Классификация уравнений второго порядка
§ 3. Краевые условия и краевые задачи
§ 4. Задача Коши
§ 5. Проблемы существования, единственности и корректности для краевой задачи
Глава 10. Характеристики. Канонический вид. Формулы Грина
§ 1. Преобразование независимых переменных
§ 2. Характеристики. Соотношение между данными Коши на характеристике
§ 3. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду
§ 4. Случай двух независимых переменных
§ 5. Формально сопряженные дифференциальные выражения
§ 6. Формулы Грина
Раздел V. Уравнения эллиптического типа
Глава 11. Уравнение Лапласа и гармонические функции
§ 1. Основные понятия
. § 2. Сингулярное решение уравнения Лапласа
§ 3. Интегральное представление функций класса С(2)
§ 4. Интегральное представление гармонической функции
§ 5. Понятие о потенциалах
§ 6. Свойства объемного потенциала
§ 7. Теорема о среднем
§ 8. Принцип максимума
§ 9. О сходимости последовательностей гармонических функций
§ 10. Распространение на уравнения с переменными коэффициентами
Глава 12. Задачи Дирихле и Неймана
§ 1. Постановка задач
§ 2. Теоремы единственности для уравнения Лапласа
§ 3. Решение задачи Дирихле для шара
§ 4. Теорема Лиувилля
§ 5. Задача Дирихле для внешности сферы
§ 6. Производные гармонической функции на бесконечности
§ 7. Теорема единственности для внешней задачи Неймана
Глава 13. Элементарные решения задач Дирихле и Неймана
§ 1. Задачи Дирихле и Неймана для круга
§ 2. Задача Дирихле для кругового кольца
§ 3. Применение конформного преобразования
§ 4. Сферические функции и их свойства
§ 5. Задачи Дирихле и Неймана, решаемые с помощью сферических функций
Упражнения
Глава 14. Вариационный метод в задаче Дирихле. Другие положительно определенные задачи
§ 1. Неравенство Фридрихса
§ 2. Оператор задачи Дирихле
§ 3. Энергетическое пространство задачи Дирихле
§ 4. Обобщенное решение задачи Дирихле
§ 5. Задача Дирихле для однородного уравнения
§ 6. О существовании вторых производных решения задачи Дирихле
§ 7. Эллиптические уравнения высших порядков и системы уравнений
§ 8. Задача Дирихле для бесконечной области
Упражнения
Глава 15. Спектр задачи Дирихле
§ 1. Интегральное представление функции, равной нулю на границе конечной области
§ 2. Спектр задачи Дирихле для конечной области
§ 3. Элементарные случаи
§ 4. Оценка роста собственных чисел
Глава 16. Задача Неймана
§ 1. Случай положительного С (х)
§ 2. Случай С(х) = 0
§ 3. Интегральное представление С. Л. Соболева
§ 4. Исследование оператора ПО
§ 5. Обобщенное решение задачи Неймана
Упражнения
Глава 17. Несамосопряженные эллиптические уравнения
§ 1. Обобщенное решение
§ 2. Теоремы Фредгольма
Глава 18. Метод потенциалов для однородного уравнения Лапласа
§ 1. Поверхности Ляпунова
§ 2. Телесный угол
§ 3. Потенциал двойного слоя и его прямое значение
§ 4. Интеграл Гаусса
§ 5. Предельные значения потенциала двойного слоя
§ 6. Непрерывность потенциала простого слоя
§ 7. Нормальная производная потенциала простого слоя
§ 8. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям
§ 9. Задачи Дирихле и Неймана в полупространстве
§ 10. Исследование первой пары сопряженных уравнений
§ 11. Исследование второй пары сопряженных уравнений
§ 12. Решение внешней задачи Дирихле
§ 13. Случай двух независимых переменных
§ 14. Уравнения теории потенциала для круга
Глава 19. Задача о косой производной
$ 1. Постановка задачи
§ 2. Оператор Гильберта
§ 3. Уравнения с оператором Гильберта
§ 4. Число решений и индекс задачи о косой производной на двумерной плоскости
Раздел VI. Нестационарные уравнения
Глава 20. Уравнение теплопроводности
§ 1. Уравнение теплопроводности и его характеристики
§ 2. Принцип максимума
§ 3. Задача Коши и смешанная задача
§ 4. Теоремы единственности
§ 5. Абстрактные функции вещественной переменной
§ 6. Обобщенное решение смешанной задачи
Глава 21. Волновое уравнение
§ 1. Понятие о волновом уравнении
§ 2. Смешанная задача и ее обобщенное решение
§ 3. Волновое уравнение с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Характеристический конус
§ 4. Теорема единственности для задачи Коши. Область зависимости
§ 5. Явление распространения волн
§ 6. Обобщенное решение задачи Коши
Глава 22. Метод Фурье
§ 1. Метод Фурье для уравнения теплопроводности
§ 2. Обоснование метода
§ 3. О существовании классического решения. Частный случай
§ 4. Метод Фурье для волнового уравнения
§ 5. Обоснование метода для однородного уравнения
§ 6. Обоснование метода для однородных начальных условий
§ 7. Уравнение колебаний струны. Условия существования классического решения
Глава 23. Задача Коши для уравнения теплопроводности
§ 1. Некоторые, свойства преобразования Фурье
§ 2. Вывод формулы Пуассона
§ 3. Обоснование формулы Пуассона
§ 4. Бесконечная скорость теплопередачи
Глава 24. Задача Коши для волнового уравнения
§ 1. Применение преобразования Фурье
§ 2. Преобразование решения
§ 3. Случай трехмерного пространства
§ 4. Обоснование формулы Кирхгофа
§ 5. Задний фронт волны
§ 6. Случай т = 2 (уравнение колебаний мембраны)
§ 7. Уравнение колебаний струны
§ 8. Волновое уравнение с переменными коэффициентами
Раздел VII. Корректные и некорректные задачи
Глава 25. О корректности задач математической физики
§ 1. Основная теорема
§ 2. Положительно определенные задачи
§ 3. Задача Дирихле для однородного уравнения Лапласа
§ 4. Внешняя задача Неймана
§ 5. Внутренняя задача Неймана
§ 6. Задачи теплопроводности
§ 7. Задачи для волнового уравнения
§ 8. О некорректности задач математической физики
Добавления
Добавление 1. Эллиптические системы
Добавление 2. О задаче Коши для гиперболических уравнений. В. М. Бабич
Добавление 3. Некоторые вопросы теории общих дифференциальных операторов. В. Г. Мазья
Добавление 4. Нелинейные эллиптические уравнения второго порядка. И. Я. Бакельман
Литература
Предметный указатель
Рекомендуем
