- Артикул:00-01042182
- Автор: Бермант А.Ф., Араманович И.Г.
- Обложка: Твердый переплет
- Издательство: Наука (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 712
- Формат: 60х90 1/16
- Год: 1973
- Вес: 1021 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все книги серии)
Краткий курс математического анализа
Репринтное издание
Восьмое издание учебника «Краткий курс математического анализа для втузов» находится в соответствии с программой курса высшей математики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений, утвержденной учебно-методическим управлением по высшему образованию в 1969 г.
«Курс» охватывает все разделы этой программы, принадлежащие математическому анализу. Параграфы и пункты, относящиеся к той части программы, которая может не изучаться во втузах с уменьшенным объемом курса математики (это касается главным образом специальностей технологического профиля), отмечены звездочками.
Оглавление
Предисловие
Введение
1. «Элементарная» и «высшая» математика. 2. Величина. Переменная величина и функциональная зависимость.3. Математика и действительность.
Глава I. Функция
§ 1. Действительные числа
4. Действительные числа и числовая ось. Интервал. 5. Абсолютная величина. 6. О приближенных вычислениях.
§ 2. Первоначальные сведения о функции
7. Определение функции. 8. Способы задания функций. 9. Символика. 10. Основные элементарные функции. Сложная функция. 11. Элементарные функции. 12. Неявные функции. Многозначные функции.
§ 3. Основные характеристики функции. Простейшие функции
13. Основные характеристики функции. 14. Графическое изучение функции. 15. Прямая пропорциональная зависимость и линейная функция. Приращение величины. 16. Квадратичная функция. 17. Обратная пропорциональная зависимость и дробно-линейная функция.
§ 4. Обратная функция. Степенная, показательная и логарифмическая функции
18. Обратная функция. 19. Степенная функция. 20. Показательная и логарифмическая функции.
§ 5. Тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические и обратные гиперболические функции
21. Тригонометрические функции. Гармонические колебания. 22. Обратные тригонометрические функции. 23. Гиперболические и обратные гиперболические функции.
Вопросы для самопроверки
Глава 11. Предел. Непрерывность
§ 1. Предел функции. Бесконечные величины
24. Предел функции непрерывного аргумента. 25. Бесконечно большой аргумент. 26. Последовательности и их пределы. 27. Бесконечно большие величины. Ограниченные функции. 28. Бесконечно малые величины. 29. Правила предельного перехода. 30. Признак существования предела функции. Первый замечательный предел. 31. Признак существования предела последовательности. Второй замечательный предел.
§ 2. Непрерывные функции
32. Непрерывность функции. 33. Точки разрыва функции. 34. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций. 35. Свойства непрерывных функций.
§ 3. Сравнение функций
36. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые. 37. Сравнение бесконечно больших величин.
Вопросы для самопроверки
Глава 111. Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление
§ 1. Производная
38. Некоторые задачи физики. 39. Скорость изменения функции. Производная функция. Производная степенной функции. 40. Геометрический смысл производной.
§ 2. Дифференцирование функций
41. Дифференцирование результатов арифметических действий. 42. Дифференцирование сложной и обратной функций. 43. Производные основных элементарных функций. 44. Дифференцирование элементарных функций. Примеры. 45. Дополнительные замечания о дифференцировании функций.
46. Параметрически заданные функции и их дифференцирование.
§ 3. Геометрические задачи. Графическое дифференцирование
47. Касательная и нормаль к линии. 48. Графическое дифференцирование. 49. Геометрический смысл производной в системе полярных координат.
§ 4. Дифференциал
50. Дифференциал и его геометрический смысл. 51. Свойства дифференциала. 52. Дифференцируемость функции. 53. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков
54. Производные высших порядков. 55. Дифференциалы высших порядков.
Вопросы для самопроверки
Глава IV. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
§ 1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши
56. Теоремы Ферма и Ролля. 57. Теорема Лагранжа. 58*. Теорема Коши.
§ 2. Исследование функций с помощью первой и второй производных 59. Признаки монотонности функции. 60. Экстремумы функции. 61. Второй достаточный признак экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции. 62. Выпуклость и вогнутость линии. Точки перегиба.
§ 3. Правило Лопиталя. Схема исследования функций
63. Правило Лопиталя. 64. Асимптоты линий. 65. Общая схема исследования функций.
§ 4. Кривизна
66. Дифференциал длины дуги. 67. Кривизна.
§ 5. Пространственные линии. Векторная функция скалярного аргумента
68. Пространственные линии. 69. Винтовая линия. 70. Векторная функция скалярного аргумента. 71*. Приложения к механике.
§ 6. Комплексные функции действительного переменного
72. Комплексные числа. 73. Определение и дифференцирование комплексных функций. 74. Показательная функция и формулы Эйлера.
§ 7. Решение уравнений
75. Общие сведения об уравнениях. 76. Признак кратности корня. 77. Приближенное решение уравнений.
Вопросы для самопроверки
Глава V. Интеграл. Интегральное исчисление
§ 1. Неопределенный интеграл
78. Первообразная функция. 79. Неопределенный интеграл. Основная таблица интегралов. 80. Простейшие правила интегрирования. 81. Интегрирование по частям и замена переменной. 82. Интегрирование рациональных функций. 83. Интегрирование некоторых иррациональных функций. 84. Интегрирование тригонометрических функций. 85. Заключительные замечания. Использование таблиц интегралов.
§ 2. Определенный интеграл
86. Некоторые задачи геометрии и физики. 87. Определенный интеграл. Теорема существования. 88. Простейшие свойства определенного интеграла. 89. Перестановка пределов и разбиение интервала интегрирования. Геометрический смысл интеграла. 90. Оценка интеграла. Теорема о среднем. Среднее значение функции. 91. Производная от интеграла по его верхнему пределу. 92. Формула Ньютона-Лейбница. 93*. Интегрирование комплексных функций действительного переменного.
§ 3. Способы вычисления определенных интегралов
94. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. 95. Приближенные методы интегрирования. 96. Графическое интегрирование.
§ 4. Несобственные интегралы
97. Интегралы с бесконечными пределами. 98*. Признаки сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. 99. Интегралы от разрывных функций.
Вопросы для самопроверки
Глава VI. Применение интегрального исчисления
§ 1. Некоторые задачи геометрии и статики
100. Площадь фигуры. 101. Объем тела. 102. Длина дуги. 103. Центр тяжести криволинейной трапеции.
§ 2. Общая схема применения интеграла
104. Схема решения задач. 105*. Площадь поверхности вращения. 106. Давление жидкости на стенку сосуда.
Вопросы для самопроверки
Глава VII. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление
§ 1. Функции нескольких переменных
107. Функции двух переменных. Метод сечений. Области и окрестности. 108. Предел и непрерывность функции двух переменных. 109. Функции многих переменных.
§ 2. Производные и дифференциалы. Дифференциальное исчисление. 110. Частные производные и дифференциалы. 111. Полный дифференциал. 112. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных. 113. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям. 114. Производные и дифференциалы высших порядков. 115. Отыскание функции по ее полному дифференциалу. 116. Дифференцирование сложных функций. Правила для отыскания дифференциала функций. 117. Теорема существования неявной функции. 118. Дифференцирование неявных функций.
§ 3. Геометрические приложения дифференциального исчисления
119. Поверхности. 120. Пространственные линии как пересечение двух поверхностей.
§ 4. Экстремумы функций нескольких переменных
121. Необходимые условия экстремума. 122. Достаточные условия экстремума для функций двух переменных. 123. Задачи о наибольших и наименьших значениях. 124*. Условные экстремумы.
§ 5. Скалярное поле
125. Скалярное поле. Поверхности уровня. 126. Производная по направлению. 127. Градиент.
Вопросы для самопроверки
Глава VIII. Двойные и тройные интегралы
§ 1. Двойные интегралы
128. Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл. 129. Свойства двойных интегралов. 130. Вычисление двойных интегралов. 131. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты. 132. Приложения двойных интегралов к задачам механики.
§ 2. Тройные интегралы
133. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл. 134. Вычисление тройных интегралов. 135. Применение тройных интегралов.
§ 3*. Интегралы, зависящие от параметра
136*. Интегралы с конечными пределами. 137*. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция.
Вопросы для самопроверки
Глава IX. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности. Теория поля
§ 1. Криволинейный интеграл
138. Задача о работе силового поля. Криволинейный интеграл. 139. Вычисление криволинейных интегралов. Интегралы по замкнутому контуру. 140. Формула Грина. 141. Условие независимости интеграла от линии интегрирования. 142. Интегрирование полных дифференциалов. Первообразная функция. 143. Криволинейные интегралы по пространственным линиям. 144. Приложения криволинейных интегралов к задачам механики и термодинамики. 145. Криволинейный интеграл по длине (первого рода).
§ 2*. Интегралы по поверхности
146*. Поток жидкости через поверхность. Интеграл по поверхности. 147*. Свойства интегралов по поверхности. 148*. Вычисление интегралов по поверхности. 149*. Формула Стокса. 150*. Формула Остроградского.
§ 3*. Теория поля
151*. Векторное поле и векторные линии. 152*. Поток вектора. Дивергенция. 153*. Циркуляция и ротор векторного поля. 154*. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка. 155*. Свойства простейших векторных полей. 156*. Электромагнитное поле. 157*. Нестационарные поля.
Вопросы для самопроверки
Глава X. Дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
158. Общие понятия. Теорема существования. 159. Уравнения с разделяющимися переменными. 160. Некоторые задачи физики. 161. Однородные и линейные уравнения первого порядка. 162. Уравнения в полных дифференциалах. 163. Приближенные методы решения уравнений первого порядка. 164*. Особые точки и особые решения. Огибающая.
§ 2. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков
165. Дифференциальные уравнения второго порядка. 166. Частные случаи уравнений второго порядка. 167. Приложения к механике. 168. Дифференциальные уравнения высших порядков.
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения
169. Линейные уравнения второго порядка. Общие свойства. 170. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части. 171. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью. Метод комплексных амплитуд. 172. Метод вариации произвольных постоянных. 173. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. 174. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. 175. Колебания. Резонанс.
§ 4. Системы дифференциальных уравнений
176. Общие определения. Нормальные системы уравнений. 177*. Геометрическая и механическая иллюстрации решений системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство. 178. Системы линейных дифференциальных уравнений. 179. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 180*. Случай кратных корней характеристического уравнения. 181*. Матричная форма записи системы линейных дифференциальных уравнений.
Вопросы для самопроверки
Глава XI. Ряды
§ 1. Числовые ряды
182. Определение ряда и его суммы. 183. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд. 184. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости. 185. Интегральный признак Коши. 186. Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость.
§ 2. Функциональные ряды
187. Общие определения. 188. Свойства правильно сходящихся функциональных рядов.
§ 3. Степенные ряды
189. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. 190. Свойства степенных рядов.
§ 4. Разложение функций в степенные ряды
191. Ряд Тейлора. 192. Условие разложимости функций в ряд Тейлора. 193. Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора. 194. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.
§ 5. Некоторые применения рядов Тейлора
195. Приближенное вычисление значений функции. 196. Интегрирование функций и дифференциальных уравнений.
§ 6*. Дополнительные вопросы теории степенных рядов
197*. Степенные ряды в комплексной области. 198*. Ряд и формула Тейлора для функции двух переменных.
Вопросы для самопроверки
Глава XII. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
§ 1. Ряды Фурье
199. Гармонические колебания. Тригонометрические ряды. 200. Ряды Фурье. 201. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Ряд Фурье в произвольном интервале. 202. Примеры. 203*. Ряды Фурье в комплексной форме. 204. Практический гармонический анализ. Шаблоны.
§ 2. Дополнительные вопросы теории рядов Фурье
205*. Ортогональные системы функций. 206. Среднее квадратичное отклонение. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. 207. Сходимость в среднем. Формула Парсеваля. Теорема Ляпунова.
§ 3. Интеграл Фурье
208*. Интеграл Фурье. 209*. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций. 210*. Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье.
Вопросы для самопроверки
Таблица интегралов
Литература
Алфавитный указатель
Рекомендуем
