- Артикул:00-01055180
- Автор: М.В. Козлов
- ISBN: 5-211-00312-8
- Тираж: 5000 экз.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Издательство Московского университета (все книги издательства)
- Город: Москва
- Страниц: 344
- Формат: 60х90 1/16
- Год: 1990
- Вес: 563 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все книги серии)
Развернуть ▼
Основы теории вероятностей излагаются в форме примеров и задач, к которым в тексте приведены подробные решения. Уровень сложности колеблется в широком диапазоне: от тренировочных задач на усвоение понятий до маленьких исследований, могущих служить началом курсовой работы. Всего примеров и задач около 450. Принцип изложения - от частных моделей к общим понятиям - направлен на развитие у читателя вкуса и навыков к самостоятельному научному творчеству. Для освоения материала достаточно владения началами математического анализа.
Содержание
Предисловие
Глава I. Начальные понятия
§ 1. Вероятность в классической схеме
Классическая вероятность и элементы комбинаторики. Симметричное случайное блуждание. Урновая модель
§ 2. Вероятностное пространство, случайные величины, распределение вероятностей
События и вероятностная мера. Испытания Бернулли. Разбиения, случайные величины в схеме Бернулли. Случайные величины в схеме бесконечной последовательности испытании Бернулли. Задача о разорении игрока
§ 3. Непрерывные вероятностные модели
Случайные величины в схеме случайного выбора точек из отрезка, функции распределений, плотности. Пуассоновский процесс и предельная схема Пуассона. Распределение арксинуса в симметричном блуждании. Формула Стирлинга и нормальное распределение в схеме симметричного блуждания. Многомерные распределения
§ 4. Независимость
Независимые дискретные случайные величины, распределение суммы, производящие функции. Независимые события. Независимые непрерывные случайные величины. Пуассоновский процесс и экспоненциальное распределение. Броуновское движение
§ 5. Условная вероятность
Условные распределения дискретных случайных величин. Марковские цепи. Условные плотности. Марковские цепи с непрерывным множеством состояний.
§ 6. Пространство и мера
Алгебра множеств, мера и ее свойства. Расширение алгебры множеств, внешняя мера, измеримые множества, теорема о существовании и единственности продолжения меры. Мера Лебега. Меры на прямой и функции распределения. Мера на плоскости. Последовательности испытаний. Монотонные классы
Глава II. Характеристики вероятностных распределений
§ 7. Математическое ожидание
Математическое ожидание дискретных случайных величин. Математическое ожидание в общем случае: определение, свойства, вычисление.
§ 8. Дисперсия, ковариация, среднеквадратическое расстояние
Неравенство Чебышева, дисперсия, закон больших чисел в схеме Бернулли. Приближение непрерывных функций. Вычисление и свойства дисперсии. Ковариация. Среднеквадратическое расстояние. Дисперсия суммы. Закон больших чисел в форме Чебышева. Дисперсия как мера качества статистической оценки. Матрица ковариаций. Линейные оценки с минимальной дисперсией
§ 9. Условное математическое ожидание
Определение. Оптимальная нелинейная оценка. Вычисление и свойства условного ожидания в дискретном случае. Свойства в непрерывном случае. Многомерное нормальное распределение. Несмещенное оценивание и достаточные статистики. Мартингалы. Ветвящийся процесс
§ 10. Измеримые функции и интеграл
Интеграл Лебега от простых функций. Интеграл Лебега и его свойства. Интегралы Римана, Лебега, Римана - Стильтьеса, Лебега – Стильтьеса. Интеграл на произведении пространств. Меры и плотности. Марковские процессы
Глава III. Некоторые модели и методы теории вероятностей
§ 11. Простое симметричное блуждание
Времена достижения и возвращения. Предельные теоремы для времен достижения и возвращения. Ветвящийся процесс. Условное блуждание и броуновский мост, предельные теоремы. Гауссовские процессы. Броуновская экскурсия
§ 12. Схема Бернулли и простое блуждание
Нормальное приближение и большие уклонения для биномиального распределения. Нормальное приближение для пуассоновского, отрицательного биномиального и гамма распределений. Эмпирическая функция распределения, статистики Колмогорова-Смирнова. Сходимость с вероятностью 1, усиленный закон больших чисел, леммы Бореля – Кантелли. Времена достижения. Предельные теоремы для простого блуждания. Среднее и дисперсия времени достижения. Условная предельная теорема
§ 13. Сходимость распределений, преобразование Лапласа и характеристические функции
Сходимость случайных величин и распределений. Асимптотическая нормальность выборочных квантилей. Сходимость производящих функций. Интеграл Римана - Стильтьеса, преобразование Лапласа, формула обращения, теорема непрерывности, моменты. Применение преобразования Лапласа. Характеристические функции. Закон больших чисел в форме Хинчина. Центральная предельная теорема. Приближение непрерывной функции тригонометрическими полиномами. Формула обращения для целочисленных величин
§ 14. Марковские модели
Неоднородное простое блуждание. Процесс Гальтона - Ватсона. Условный ветвящийся процесс. Ветвящийся процесс с параметром р>1. Процессы с иммиграцией. Ветвящийся процесс в случайной среде. Дискретные процессы восстановления и марковские цепи
Литература
Список обозначений и сокращений
Рекомендуем
