- Артикул:00-01096173
- Автор: И.И. Ляшко, В.Ф. Емельянов, А.К. Боярчук
- ISBN: 5-11-000112
- Тираж: 5000 экз.
- Обложка: Твердая обложка
- Издательство: Вища школа (все книги издательства)
- Город: Киев
- Страниц: 592
- Формат: 60х90 1/16
- Год: 1988
- Вес: 872 г
- Серия: Учебное пособие для ВУЗов (все книги серии)
Развернуть ▼
В пособии изложен математический анализ с основами теории функций комплексной и действительной переменных, а также некоторые разделы функционального анализа. Дифференциальное исчисление построено на идеях Ферма - Лагранжа. В интегральном исчислении введен в рассмотрение интеграл Ньютона - Лейбница и показаны его приложения. Проведено сравнение интегралов Ньютона - Лейбница, Коши, Римана, Дарбу и Лебега. По-новому излагаются теории интеграла Лебега, рядов Фурье обобщенных функций, дифференциальных форм и другие вопросы. Теоретический материал иллюстрируется многими примерами. Даны упражнения для самостоятельного решения. Для студентов математических специальностей университетов.
Оглавление
Предисловие
1. Грани множеств и предел последовательности
§1. Элементы теории множеств и отображений
§2. Отношение порядка. Понятие частично упорядоченного пространства
§3. Верхняя и нижняя грани множества в частично упорядоченном пространстве
§4. Топология упорядоченного пространства
§5. Топологическое свойство граней множества. Полные пространства
§6. Последовательность, ее предел и порядковые свойства предела
§7. Связь между гранями множеств и пределом последовательности. Теорема Вейерштрасса
§8. Последовательность. Частичный предел последовательности. Верхний и нижний пределы
§9. Существование монотонной подпоследовательности. Теоремы Больцано - Вейерштрасса и Кантора
2. Действительные и комплексные числа
§1. Аксиоматическая теория действительного числа
§2. Числовая последовательность и ее предел
§3. Теория действительного числа по Вейерштрассу
§4. Комплексные числа
3. Сумма и произведение числового семейства. Числовой ряд и бесконечное произведение
§1. Сумма семейства чисел и ее свойства
§2. Вычисление сумм с помощью предела
§3. Признаки суммируемости последовательности комплексных чисел
§4. Произведение семейства комплексных чисел
§5. Числовые ряды
§6. Теорема Римана о перестановке членов ряда. Бесконечные произведения
4. Последовательности функций и функциональные ряды. Степенные ряды и элементарные функции.
§1. Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость
§2. Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда
§3. Степенные ряды
§4. Элементарные функции
5. Предел и непрерывность функции
§1. Предел и непрерывность функции по Гейне
§2. Полунепрерывные функции. Предел и непрерывность функции в смысле Коши
§3. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора
§4. Обратные элементарные функции. Приемы решения задач
§5. Равностепенная непрерывность
6. Производная и интеграл
§1. Производная
§2. Физический и геометрический смысл производной. Теоремы Ролля, Дарбу, Лагранжа
§3. Интеграл Ньютона - Лейбница
§4. Дифференцирование и интегрирование предела последовательности функций и суммы функционального ряда
§5. Существование первообразной. Интегралы Коши и Римана
§6. Вычисление интегралов и первообразных
7. Приложения производной и интеграла. Функции векторного аргумента
§1. Приложения производной и интеграла к исследованию функций
§2. Производные и интегралы Ньютона - Лейбница любых порядков
§3. Производная Ферма - Лагранжа. Формула Тейлора - Пеано. Достаточные условия экстремума
§4. Ряд Тейлора
§5. Выпуклые функции
§6. Элементарная теория интеграла, зависящего от параметра. Частные производные функции. R2-дифференцируемость
§7. Формула Тейлора. Экстремум функции векторного аргумента
§8. Элементарная теорема о неявной функции. Условный экстремум
§9. Криволинейные интегралы. Формулы Коши для функции и ее производных. Ряд Лорана и теория вычетов
§10. Потенциальное векторное поле
§11. Функции ограниченной вариации
§12. Интеграл Стилтьеса
8. Интеграл Лебега
§1. Интеграл как площадь фигуры. Теорема Дини о равномерной сходимости. Класс функций L0
§2. Нуль-множества
§3. Суммируемые функции. Класс L и интеграл Лебега. Теоремы Леви, Фату, Лебега
§4. Измеримые функции. Теорема Фреше
§5. Измеримые множества, их мера. Борелевские множества
§6. Интегрирование по множеству
§7. Сравнение различных теорий интегрирования
§8. Ячейки на прямой и представление суммируемой функции посредством характеристических функций ячеек
§9. Теоремы Егорова и Лузина
§10. Интеграл Лебега функции многих переменных. Теоремы Фубини и Тонелли
§11. Плотность отображения. Замена переменных в интеграле
§12. Интегралы Эйлера. Свойства интегралов Лебега, зависящих от параметра
§13. Вторая теорема о среднем для интеграла Лебега. Абсолютно непрерывные функции
9. Ряд и интеграл Фурье
§1. Тригонометрический ряд и ряд Фурье
§2. Преобразование Фурье. Теорема Римана - Лебега
§3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации Римана. Признаки сходимости ряда Фурье
§4. Сингулярный интеграл Фурье. Принцип локализации и признаки сходимости
§5. Теоремы Фейера и Вейерштрасса и следствия из них
§6. Средние Валле Пуссена. Теорема Харди
§7. Коэффициенты Фурье функции в ограниченным изменением. Признаки Дирихле - Жордана
§8. Операции дифференцирования и интегрирования рядов Фурье
§9. Векторное пространство над полем К. Пространства L и L2
§10. Ортогональные ряды и ряды Фурье в гильбертовом пространстве
§11. Некоторые плотные множества в пространствах Lp. Полнота тригонометрической системы
§12. Преобразование Фурье в пространстве L
§13. Преобразование Фурье в пространстве L2. Теорема Планшереля
10. Обобщенные функции
§1. Пространство D' обобщенных функций
§2. Ряд Фурье обобщенной функции
§3. Преобразование Фурье обобщенных функций
§4. Секвенциальный подход к теории обобщенных функций
11. Поверхностные интегралы. Внешние дифференциальные формы
§1. Формула Гаусса - Остроградского
§2. Внешние дифференциальные формы
§3. Формула Стокса
12. Некоторые вопросы функционального анализа
§1. Расстояния и метрические пространства
§2. Основные принципы функционального анализа
Предметный указатель
Список рекомендуемой литературы
Рекомендуем
